В шестиугольнике нет параллельных сторон сколько существует точек которые равноудалены от трех

Геометрические места точек

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые удовлетворяют какому-либо определенному условию.

Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности, указанное расстояние — ее радиусом.

Круг. — это множество всех точек плоскости, удаленных от данной точки не более, чем на длину данного отрезка. Указанная точка называется центром, а данный отрезок—радиусом круга.

1. (Теорема.) Докажите, что геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек Л и Б, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

2. Даны отрезок АВ и прямая. В каком случае на прямой а) существуют две точки, равноудаленные от Л и Б? б) таких точек нет?

3. Дан треугольник АВС. Где на плоскости находится такая точка М, что AM = ВМ = СМ?

4. Дан четырехугольник ABCD. Где находится такая точка О, что АО = СО, ВО = DO? Сколько может быть таких точек?

5. Дан четырехугольник ABCD. Оказалось, что на плоскости существуют две такие точки О, что АО = DO, ВО = СО. Докажите, что стороны ВС и AD параллельны.

6. Дан треугольник АВС. Некоторая точка М такова, что AM = 1, ВЫ = 2, СМ = 3. Докажите, что такая точка единственна.

7. На рисунке даны два равных отрезка АВ и CD. Найдите все такие точки М на плоскости, что треугольники АВМ и CDM равны. Сколько существует таких точек?

8. Дана точка О. Нарисуйте на плоскости множество всех таких точек М, что а) ОМ = 3 см; б) ОМ < 3 см; в) 2 см < ОМ < 3 см.

9. Дан квадрат. Закрасьте внутри него множество всех таких точек М, расстояния от которых до четырех вершин квадрата не больше его стороны.

10. Дан отрезок АВ. Закрасьте на плоскости множество всех таких точек М, что AM < АВ < ВЫ.

12. Дан отрезок АВ. Где расположены на плоскости все такие точки М, что AM — наименьшая сторона треугольника АМВ? Ответ представьте в виде заштрихованной области.

13. В равностороннем треугольнике АВС взята точка О так, что угол АВО больше 30°. Докажите, что АО > СО.

14. Дан равносторонний треугольник АВС. Изобразите множество всех таких точек М внутри него, что ВЫ меньше AM и СМ.

15. Точка О — середина отрезка МК. Известно, что AM < ВМ, АК < ВК. Докажите, что АО < ВО.

16. Дан квадрат ABCD. Где находятся все такие точки М, что AM

*17. Диагонали четырехугольника равны. Известно, что серединный перпендикуляр к одной его стороне пересекает противоположную сторону. Докажите, что это верно и для противоположной стороны.

18. (Теорема.) Дан угол меньше развернутого. Докажите, что геометрическим местом точек внутри угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса данного угла.

19. Даны две пересекающиеся прямые. Где расположены на плоскости все точки, равноудаленные от этих прямых?

20. Биссектрисы углов Л и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что эта точка принадлежит и биссектрисе угла В.

21. Дан шестиугольник, никакие стороны которого не параллельны. Сколько существует точек, которые равноудалены от трех его данных несмежных сторон?

22. Дан выпуклый четырехугольник, у которого нет параллельных сторон. Где находится такая точка, которая одновременно равноудалена от двух пар его противоположных сторон? Сколько может быть таких точек?

23. В четырехугольнике ABCD внешний угол при вершине А равен углу BCD, AD = CD. Докажите, что BD — биссектриса угла

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2023 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.

Геометрические места точек | Задачи 11-23 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии в задачах 7-

11. (Теорема.) Дан отрезок AB. Докажите, что геометрическим местом таких точек M, что AM BM, является полуплоскость, расположенная по ту же сторону от серединного перпендикуляра к отрезку AB, что и точка A. 12. Дан отрезок AB. Где расположены на плоскости все такие точки M, что AM –– наименьшая сторона треугольника AMB? Ответ представьте в виде заштрихованной области. 13. B равностороннем треугольнике ABC взята точка O так, что угол ABO больше 30◦ . Докажите, что AO CO. 14. Дан равносторонний треугольник ABC. Изобразите множество всех таких точек M внутри него, что BM меньше AM и CM. 15. Точка O –– середина отрезка MK. Известно, что AM BM, AK BK. Докажите, что AO BO. 16. Дан квадрат ABCD. Где находятся все такие точки M, что AM BM CM DM? *17. Диагонали четырехугольника равны. Известно, что серединный перпендикуляр к одной его стороне пересекает противоположную сторону. Докажите, что это верно и для противоположной стороны. 18. (Теорема.) Дан угол меньше развернутого. Докажите, что геометрическим местом точек внутри угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса данного угла. 19. Даны две пересекающиеся прямые. Где расположены на плоскости все точки, равноудаленные от этих прямых? 20. Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что эта точка принадлежит и биссектрисе угла B. 21. Дан шестиугольник, никакие стороны которого не параллельны. Сколько существует точек, которые равноудалены от трех его данных несмежных сторон? 22. Дан выпуклый четырехугольник, у которого нет параллельных сторон. Где находится такая точка, которая одновременно равноудалена от двух пар его противоположных сторон? Сколько может быть таких точек? 23. В четырехугольнике ABCD внешний угол при вершине A равен углу BCD, AD = CD. Докажите, что BD –– биссектриса угла ABC.

Показать больше

Войдите , чтобы оставлять комментарии

Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы: [12+] [3-е изд. стер.] 9785443928180

Волчкевич М. А. Уроки геометрии в задачах. 7–– 8 классы. –– 3-е изд., стереотип. –– М.: МЦНМО, 2019. –– 208 с. ISBN 978-5-4439-2818-0 Книга обобщает авторский опыт преподавания геометрии в нескольких московских школах. В ней много рисунков –– это сильно экономит время на уроках. Перед каждым параграфом дается справочный материал –– формулировки основных теорем и определения. Материал каждой темы строится по классическому принципу: от простого к сложному. Первые задачи доступны каждому школьнику, последние достигают уровня серьезных математических олимпиад. Около половины всех задач авторские. Подборка к каждой теме выстроена так, чтобы показать содержащийся в ней метод со всех сторон. Данная книга составлена именно для работы на уроках, поэтому решений в ней нет, только ответы. Книга предназначена для школьников, преподавателей математики, студентов педагогических вузов и университетов.

ffi М. А. Волчкевич, 2016, 2017. ffi МЦНМО, 2019.

Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Аксиомы прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Отрезки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ломаные, многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Выпуклые фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Равные фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Первый признак равенства треугольников . . . . . . . . . . . . Второй признак равенства треугольников . . . . . . . . . . . . . Равнобедренный треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Третий признак равенства треугольников . . . . . . . . . . . . . Продолжение медианы на свою длину . . . . . . . . . . . . . . . Равенство прямоугольных треугольников . . . . . . . . . . . . . Внешний угол треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Теорема о большей стороне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Неравенство треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Параллельность. Сумма углов треугольника . . . . . . . . . . . Расчет углов в равных треугольниках, дополнительные построения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Геометрические места точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Знакомство с окружностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Построения циркулем и линейкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . Знакомство с симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Кратчайшие пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Отражения и зеркала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Центральная симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дополнительные построения, связанные с параллелограммом Трапеция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Прямоугольник, ромб, квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Медиана прямоугольного треугольника . . . . . . . . . . . . . . Средняя линия треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Средняя линия трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Медианы треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 8 12 14 17 20 22 24 27 29 31 33 34 36 37 39 43 49 52 56 61 64 69 71 74 77 82 85 89 93 95 102 106

Прямоугольный треугольник с углом 30◦ Теорема Фалеса . . . . . . . . . . . . . . . . . Окружность 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Касательные к окружности . . . . . . . . . . Построение касательных . . . . . . . . . . . Касание окружностей . . . . . . . . . . . . . Биссектрисы пересекаются в одной точке Вписанные углы . . . . . . . . . . . . . . . . . Признаки вписанного четырехугольника ГМТ с постоянным углом . . . . . . . . . . . Угол между касательной и хордой . . . . . Обратный ход . . . . . . . . . . . . . . . . . . Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Применение площадей . . . . . . . . . . . . Теорема Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . Ответы и указания . . . . . . . . . . . . . . .

108 111 113 120 127 129 134 141 148 156 159 162 164 178 185 196

Предисловие Зачем в школе нужна геометрия, что она дает детям? Спросите прилежную ученицу: «Чем вы занимаетесь на уроках геометрии?» Она вам ответит: «Мы доказываем». Ответ этот, при всей его наивности, бьет в самую точку –– именно на уроках геометрии впервые возникает в школе необходимость доказательства теоремы, какойлибо истины, идея доказательства вообще. Но геометрия учит не только этому. Она учит вычислять, строить фигуры, давать определения. Отличать свойства и признаки, делать красивые чертежи и главное –– дополнительные построения. Проведи несколько линий –– и трудная задача вдруг станет легкой, очевидной. Древние греки в таких случаях просто говорили: «Смотри!» Недаром греческие слова теория и театр восходят к общему корню. Нигде кроме геометрии нет такого разнообразия красивых фактов и задач, для получения которых нужно лишь немного теории. Это похоже на игру в шахматы –– знание основных теорем здесь подобно лишь умению делать ходы фигурами, то есть правилам игры. Любая содержательная задача –– это уже комбинация, сопоставление фактов, в ней всегда нужно сделать несколько ходов. Видя это разнообразие, родители учеников часто задают мне один вопрос: «Нельзя ли почитать какой-нибудь учебник, решить из него несколько хороших и правильных задач и научиться всему этому побыстрее?» Слыша такое, я всегда улыбаюсь: ровно тот же вопрос задавал две тысячи лет назад египетский царь Птолемей великому Евклиду. Ответ Евклида давно уже стал афоризмом: «В геометрии нет царского пути!» Я готов подтвердить, что не существует списка из ста таких задач. Над списком из тысячи я бы уже подумал. Единственное, что тут можно сделать, –– это устроить так, чтобы ребята решали много хороших задач и делали это с удовольствием для себя. Наверное, так же учат иностранные языки, учатся музыке, да и любому содержательному умению. *

Как устроена эта книга? По сути, она обобщает мой опыт преподавания геометрии в математических классах нескольких мос-

ковских школ за последние 15 лет. В ней много рисунков –– и это не случайно. Картинка всегда воспринимается человеком на порядок быстрее, чем любой текст, по рисунку учитель в книге сразу найдет нужную ему задачу, а ученик быстро поймет, в чем она состоит. Рисунки экономят время на уроках, а его всегда не хватает! Перед каждым параграфом дается справочный материал –– не только формулировки основных теорем, но и определения. Определения обычно трудно запоминаются школьниками, и не помешает всегда иметь их под рукой. Материал каждой темы строится по классическому принципу: от простого к сложному. Первые задачи доступны каждому школьнику, последние достигают уровня серьезных математических олимпиад. Главные задачи либо выделяются в тексте названиями, либо их номера подчеркиваются. Самые трудные задачи отмечены звездочкой. К задачам на вычисление даются ответы и указания. Данная книга составлялась мной именно для работы на уроках, и очень хорошо, если она будет на столе у каждого ученика. Поэтому в ней нет решений –– только ответы. Иначе слишком велико было бы искушение у ребенка туда заглянуть! Подборка задач к каждой теме выстроена так, чтобы показать содержащийся в ней метод со всех сторон, так сказать, повернуть его разными гранями. По этой причине около половины всех задач книги оригинальны –– они были специально мной придуманы как вариации основных идей для отработки ребятами необходимых навыков и умений. *

Теперь несколько слов для учителей. Логика самого курса геометрии в данной книге такова, что признаки равенства прямоугольных треугольников, теорема о внешнем угле, о большей стороне и неравенство треугольника здесь доказываются без использования аксиомы параллельных, которая проходится уже во второй половине седьмого класса, то есть все эти утверждения относятся еще к абсолютной геометрии. Такой подход соответствует знаменитому старому учебнику А. П. Киселёва или современному учебнику В. А. Смирнова. Аксиома параллельных, таким образом, стоит особняком –– именно она отделяет геометрию Евклида от других геометрий. Пусть ребята хорошо запомнят этот ее краеугольный камень! В восьмом классе площадь проходится

раньше теоремы Пифагора и подобия фигур. Мне это кажется оправданным, поскольку понятие площади очень естественно и легко воспринимается школьниками. К тому же древние греки делали именно так. Например, через площадь они легко доказывали лемму о пропорциональных отрезках или ту же теорему Пифагора. Данная книга представляет собой первую часть всего курса планиметрии, ориентированную на 7 и 8 классы. Следующая часть будет посвящена программе 9 класса и повторению планиметрии в 11 классе перед подготовкой к вступительным испытаниям. Книга может быть эффективно использована на уроках геометрии в средней школе, особенно в классах с углубленным изучением математики. Она также подойдет для подготовки к олимпиадам, экзаменам и для самостоятельного обучения. В заключение хочется выразить благодарность моему любимому учителю Р. К. Гордину, моим коллегам из лицея «Вторая Школа» И. Д. Жижилкину, П. В. Бибикову, А. И. Балабанову, Е. А. Дроздовой, К. В. Козеренко, И. А. Лепской, помогавшим мне советами при подготовке сборника к публикации, В. Радионову, сделавшему множество прекрасных рисунков и заметившему не меньше досадных опечаток при верстке макета, редактору О. Васильевой, тщательно выверившей тексты задач, а также Ю. Торхову, И. В. Ященко и всему издательству МЦНМО, подготовившему книгу к выходу в свет. М. А. Волчкевич

Аксиомы прямой Аêñèîìû ïðÿìîé 1. Для любой прямой на плоскости всегда можно взять точку, лежащую на ней, и точку, не лежащую на этой прямой. 2. Через любые две точки на плоскости проходит только одна прямая. 3. Из любых трех точек на прямой только одна лежит между двумя другими. 4. Прямая всегда разбивает плоскость на две части (полуплоскости)1 . Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то он пересекает прямую; если же его концы принадлежат одной полуплоскости, то он ее не пересекает. Отрезком называется множество всех точек на прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Данные точки называются концами отрезка. Концы отрезка также принадлежат ему. Лучом называется множество всех точек на прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки2 . Данная точка называется началом луча. Начало луча также принадлежит ему.

точка C лежит между A и B

1. Как видно из рисунка, две окружности могут пересекаться в двух точках. Докажите, что две различные прямые могут пересекаться только в одной точке.

Сама прямая не входит ни в одну из полуплоскостей. Правильнее было бы сказать, что точки луча находятся в одной полуплоскости относительно любой другой прямой, проходящей через его начало. 2

2. Через точку на плоскости провели прямую. Докажите, что через данную точку можно провести еще одну прямую, отличную от первой. 3. Сколько существует лучей с началом в данной точке A, проходящих через данную точку B? 4. На прямой отметили три точки. Сколько всего получилось лучей с началами в данных точках? 5. На плоскости отметили четыре точки. Через любые две из них провели прямую. Сколько всего при этом могло получиться прямых? (Разберите все случаи.) 6. Нарисуйте четыре прямые так, чтобы они пересекали друг друга ровно в пяти точках. 7. Могут ли семь прямых пересекаться ровно в девяти точках? 8. В каком наибольшем числе точек могут пересекаться 20 прямых? 9. В каком числе точек пересекают друг друга 15 прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке, если среди них есть ровно две параллельные? 10. В каком числе точек пересекаются 10 прямых, если среди них нет параллельных и ровно три из них проходят через одну точку? 11. Незнайка утверждает, что окружность –– это прямая. Почему он не прав? Приведите три возражения, ссылаясь на приведенную таблицу и аксиомы.

12. Отрезки AB, BC и CE пересекаются с данной прямой, а их концы не лежат на ней. Что можно сказать об отрезке AE?

13. Точка A лежит на прямой, отрезок BC пересекает прямую. Пусть M –– произвольная точка на отрезке AB. Докажите, что отрезок CM пересечет прямую. 14. Фома утверждает, что точки на прямой принадлежат сразу двум полуплоскостям, границей которых является данная прямая. Какая аксиома тогда нарушается и почему?

15. (Теорема.) Прямая пересекает одну сторону треугольника в точке, отличной от вершины. Докажите, что она пересечет еще одну его сторону. 16. Нарисуйте пятиугольную звезду. Проведите прямую, пересекающую все ее пять звеньев. Можно ли провести эту прямую так, чтобы она не проходила через вершины звезды? Ответ поясните. 17. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки P и Q, а на стороне AC –– точку E. Докажите, что отрезок BE пересекает прямую PQ. B Q

18. Десять точек на плоскости попарно соединили отрезками. Прямая не проходит ни через одну из точек. Может ли она пересечь ровно 20 отрезков?

19. На плоскости отметили несколько точек и попарно соединили их все отрезками. Прямая не проходит ни через одну из точек. Оказалось, что она пересекла ровно 21 отрезок. Сколько отрезков не пересекла прямая? Внимание: у задачи может быть несколько решений! 20. Немецкий математик Клейн утверждал, что «плоскость» –– это внутренность некоторого круга, а «прямые» на ней –– отрезки с концами на окружности. Проверьте, что все пройденные нами аксиомы на такой «плоскости» выполняются. Как будет на ней выглядеть луч? B

Отрезки Аêñèîìû îòðåçêîâ 1. Любой отрезок имеет определенную меру длины, большую нуля. За единицу длины можно принять любой отрезок. 2. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. 3. На любом луче от его начала всегда можно отложить отрезок заданной длины и только одним способом.

1. Как выяснить на практике толщину листа из учебника геометрии? Больше она или меньше одной десятой миллиметра? 2. Сравните «на глаз» длины отрезков AB и CD на рисунках. А теперь измерьте их линейкой. Какой больше? C

3. Могут ли точки A, B и C лежать на одной прямой, если AB = 2 см, BC = 3 см, AC = 4 см? 4. На старой линейке все деления стерлись, случайно уцелели лишь отметки 0, 1,3 см и 1,7 см. Как с помощью такой линейки отложить отрезок длины а) 0,9 см; б) 1 см? 

5. На прямой отметили точки A, B, C и D в указанном порядке. Известно, что AC = 5 см, BD = 6 см, AD = 7 см. Найдите BC. 6. Отрезок длины a разделен произвольной точкой на две части. Найдите расстояние между серединами этих частей.

7. Длина отрезка AB равна 18 см. Точки C и E лежат на данном отрезке, причем AC : CB = 3 : 5, AE : EB = 5 : 4. Найдите CE. 8. Точка C делит отрезок AB в отношении 2 : 3, считая от точки A. Точка E делит отрезок BC в отношении 3 : 4, считая от точки B. В каком отношении точка E делит отрезок AB? 9. Два отрезка с длинами 3 см и 5 см имеют общий конец и лежат на одной прямой. Чему может быть равно расстояние между их серединами? 10. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причем AB = 2, AC = 5. Чему может быть равно расстояние от точки A до середины отрезка BC? 11. На прямой взяли точки A, B и C так, что AB + BC = AC. Докажите, что точка B обязательно лежит между A и C. 12. Точки A, B, C и E лежат на одной прямой, причем известно, что AC + BC = AB, AE + CE = AC. Какая из данных точек лежит на отрезке BE? 13. Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Известно, что AD = 3, DC = 2, AC = 5, BD = 8. Найдите AB. 14. Точки A, B, C лежат на одной прямой. Известно, что AC = 6, AB + BC = 10. Чему может быть равно BC? 15. Точки A, B, C лежат на одной прямой. Известно, что AB = = 10, AC : BC = 2 : 3. Чему может быть равно AC? 16. Отрезок AB делится точкой C в отношении 7 : 8, а точкой E –– в отношении 13 : 17. Известно, что AB = 90 см. Чему может быть равно расстояние между серединами отрезков AE и BC? 17. Точки A, B, C, D в данном порядке лежат на одной прямой. Сумма всех отрезков с концами в этих точках равна 10. Найдите AD, если BC = 2. 18. Геометрически поясните, почему 1/ 2

1 1 1 1 + + + ‌ + 100 α, β

1. Используя приведенный чертеж, докажите теорему о внешнем угле. Как изменить показанное на этом чертеже построение для доказательства того, что данный внешний угол треугольника больше угла BAC? B

2. Могут ли в треугольнике быть два прямых угла? А два тупых? 3. Докажите, что сумма любых двух углов треугольника меньше 180◦ . 4. К данной прямой проведены два перпендикуляра. Докажите, что они не могут пересекаться. 5. В треугольнике ABC взята произвольная точка O. Докажите, что ∠AOC > ∠ABC. 6. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли произвольные точки M и K, причем отрезки AK и CM пересекаются в точке O. Докажите, что ∠AMC + ∠AKC > ∠AOC.

Теорема о большей стороне

Тåîðåìà î ïåðïåíäèêóëÿðå è íàêëîííîé. Отрезок перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, короче любой наклонной, проведенной из этой точки к прямой.

Тåîðåìà î áîëüøåé ñòîðîíå è áîëüøåì óãëå òðåóãîëüíèêà. В треугольнике против большей стороны всегда лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

1. Используя приведенный чертеж, докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

2. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное предыдущей задаче. 3. Докажите теорему о перпендикуляре и наклонной. 4. На основании равнобедренного треугольника взяли произвольную точку. Докажите, что отрезок, соединяющий ее с противоположной вершиной, короче боковой стороны.

5. Высота делит сторону неравнобедренного треугольника на два отрезка. Докажите, что меньший из них прилегает к большему углу треугольника.

Теорема о большей стороне

6. В треугольнике ABC провели медиану BM. Известно, что AB > BC. Сравните углы ABM и CBM. B

*7. Внутри равностороннего треугольника взяли две произвольные точки. Докажите, что соединяющий их отрезок меньше его стороны. *8. Рассматриваются треугольники с двумя одинаковыми сторонами. Докажите, что в том из них, где больше угол между ними, больше третья сторона.

Неравенство треугольника Каждому из опыта известно, что самый короткий путь между точками на плоскости идет по прямой. Оказывается, это можно доказать, исходя из уже пройденных раньше аксиом. Ключом к данному доказательству служит так называемое Нåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. Сумма любых двух сторон в треугольнике всегда больше его третьей стороны. Нåðàâåíñòâî ëîìàíîé. Длина ломаной не может быть меньше длины отрезка, соединяющего ее начало и конец. Равенство возможно только в случае, когда все вершины ломаной лежат на данном отрезке.

1. Используя данный чертеж, докажите неравенство треугольника.

2. Докажите «неравенство трех точек»: для любых трех точек A, B, C на плоскости AB + BC ¾ AC. В каком случае будет равенство? 3. Две стороны треугольника равны 2 и 5, а третья равна целому числу. Каким оно может быть? 

4. Одна сторона равнобедренного треугольника равна 5, а другая 12. Найдите периметр треугольника.

5. Одна сторона треугольника равна 4, а длины двух других его сторон относятся как 3 : 5. Докажите, что периметр треугольника меньше 20. 6. Разность боковых сторон треугольника равна 2, а его основание в три раза больше меньшей из них. Докажите, что периметр треугольника больше 5. 7. Внутри треугольника взяли произвольную точку. Докажите, что сумма расстояний от нее до вершин треугольника больше половины его периметра. 8. Отрезки AC и BD пересекаются. Докажите, что AB + CD CO. 14. Дан равносторонний треугольник ABC. Изобразите множество всех таких точек M внутри него, что BM меньше AM и CM. 15. Точка O –– середина отрезка MK. Известно, что AM 2 · AC.

Знакомство с симметрией

30. Эллипсом называют множество всех точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (называемых его фокусами) постоянна. Внешне эллипс похож на овал или вытянутую окружность. Докажите, что эллипс имеет две оси симметрии, причем эти оси перпендикулярны друг другу. M

F1 M + F2 M = const

31. Постройте треугольник, если даны одна его вершина и три прямые, на которых лежат его биссектрисы. 32. Постройте треугольник по длинам двух его сторон и разности лежащих против них углов. 33. Постройте треугольник по двум его углам и разности противолежащих им сторон. 34. Биссектриса AE равнобедренного треугольника ABC пересекает биссектрису его угла B в точке O. На боковой стороне AB взяли точку M так, что AM = AC. Прямая MO пересекает основание AC в точке K. Докажите, что AK = EC. B M E O A

*35. На листе бумаги нарисован треугольник. Сложите этот лист так, чтобы одним прямым разрезом получить в нем дыру в виде данного треугольника.

Кратчайшие пути 1. (Задача Герона из Александрии.) Точки A и B лежат по одну сторону от прямой. Постройте на этой прямой такую точку M, чтобы сумма отрезков AM + BM была минимальна. A B M

2. Точки A и B находятся по разные стороны от прямой. Найдите на этой прямой такую точку M, чтобы модуль разности |AM − BM| принимал наибольшее значение. 3. Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и данной высотой, проведенной к этому основанию, наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник. 4. Внутри острого угла с вершиной O взяли точку A. Постройте на двух его сторонах точки B и C так, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим.

5. Найдите минимальный периметр треугольника ABC из предыдущей задачи, если OA = 1, а величина данного угла равна 30◦ .

6. В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны 1, а угол ABC равен 20◦ . На стороне AB выбирают произвольную точку K, а на стороне BC –– произвольную точку E. Найдите минимум суммы AE + EK + KC. B 15◦

7. Боковые стороны AB и BC равнобедренного треугольника ABC равны 1, а угол между ними равен 15◦ . На стороне AB выбирают произвольную точку K, а на стороне BC –– произвольную точку E. Найдите минимум AE + EK. *8. Один из углов остроугольного треугольника равен 30◦ . На каждой его стороне выбрали по одной точке. Докажите, что минимальный периметр образованного этими точками треугольника равен одной из высот исходного треугольника.

*9. На каждой стороне прямоугольника взяли по одной точке. Докажите, что наименьший периметр образованного этими точками четырехугольника равен сумме диагоналей прямоугольника.

Отражения и зеркала С задачей Герона связан также закон отражения луча света от прямого зеркала: угол его падения на зеркало равен углу отражения. Это правило было известно еще Евклиду. Но только в XVII веке Пьер Ферма сформулировал основной принцип, который справедлив во всех современных теориях: луч света (при его отражении, преломлении и т. д.) между двумя точками идет по пути, на который он тратит наименьшее время.

1. При падении и отражении от зеркала луч света образует с ним равные углы. Докажите, что в этом случае он идет через зеркало по самому короткому пути между точками A и B. Представим себе, что из точки A выходит множество лучей света. Все они после отражения от зеркала будут лежать на прямых, проходящих через симметричную точке A точку A1 . Для наблюдателя, находящегося в других точках B, будет казаться, что он «видит» точку A1 . Говорят, что в этой точке находится мнимое изображение точки A. Поэтому зеркала как будто «удваивают» пространство, и осевую симметрию называют еще зеркальной.

2. Как нужно расположить зеркало, чтобы нормально прочитать в нем слово: а) КОФЕ; б) ПОТОП? 3. Как вы думаете, почему на некоторых машинах спереди пишут ЯИЦАMИНАЕР? 4. Догадайтесь с помощью зеркала, что здесь написано:

5. (Философский вопрос.) Если подойти к зеркалу и поднять правую руку, то ваше отражение «поднимет» левую, то есть зеркало меняет местами право и лево. Но как вы думаете, почему оно не меняет верх и низ?

Отражения и зеркала

6. Спокойная поверхность воды отражает окружающие предметы не хуже зеркала. Догадайтесь, где на приведенной фотографии находится оригинал, а где его отражение.

7. Возьмите две створки зеркального шкафа (или трюмо), поверните их под углом друг к другу и приставьте к ним карандаш так, как показано на рисунке. Под каким углом нужно повернуть зеркала, чтобы из отражений сложился: а) треугольник; б) четырехугольник; в) шестиугольник?

8. Как вы, наверное, помните, два перпендикулярных друг другу зеркала образуют катафот. Он разворачивает упавший на него луч света на 180◦ . Повернем теперь зеркала под тупым углом α. На какой угол по отношению к направлению падающего луча повернется отраженный двумя зеркалами луч?

Отражения и зеркала

9. Луч света отражается от прямого зеркала. Сам луч не меняли, а зеркало повернули на угол α. На какой угол повернется отраженный луч? 10. Луч света последовательно отражается относительно сторон зеркального угла в 45◦ . Докажите, что после последнего отражения он «вернется» параллельно направлению его падения на первое зеркало. Mожно ли доказать это так, чтобы не считать много углов?

*11. Какое максимальное число раз может отразиться луч света от сторон зеркального угла, равного 10◦ ? 12. По шару, который стоит у середины борта бильярда, ударили так, что после трех отражений12 от других бортов он попал в соседнюю лузу. В каком отношении делит противоположную сторону бильярда точка его отражения K?

*13. В одной из угловых луз прямоугольного бильярда стоит шар. По нему бьют под углом 45◦ к борту. Докажите, что если отношение сторон бильярда –– рациональное число, то после нескольких ударов о борта шар обязательно попадет в другую лузу. Сколько раз ударится шар о борта, если отношение сторон равно 4 : 9? 12 В математических задачах про бильярд предполагается, что шар отражается от бортов так же, как луч света в зеркале. На практике бильярдные шары движутся сложнее, поскольку после удара кием могут получить кручение вокруг собственной оси.

Центральная симметрия Точки A и A1 называются симметричными относительно точки O, если O является сеA рединой отрезка AA1 . Если мы каждой точO A1 ке A на плоскости поставим в соответствие симметричную ей точку A1 , то это значит, что центральная на плоскости мы задали центральную симметсимметрия ZO рию. Точка O называется центром симметрии, при симметрии она переходит сама в себя. Центральная симметрия обозначается так: ZO . Фигура называется центрально-симметричной, если при симметрии относительно некоторой точки она переходит сама в себя.

1. С помощью циркуля и линейки постройте точку, симметричную данной точке A относительно точки O. Mожно ли это сделать только одним циркулем? 2. Докажите, что окружность имеет центр симметрии. 3. Имеют ли центр симметрии отрезок, луч, прямая? 4. Напишите три двузначных числа, десятичная запись которых имеет центр симметрии. Существуют ли такие трехзначные числа? 5. Какие буквы латинского алфавита имеют центр симметрии? ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 6. Какие координаты имеет точка, симметричная точке A(x; y) относительно начала координат? 7. На рисунке показан график функции, заданной уравнением y = x 3 . Докажите, что он имеет центр симметрии. y

8. Двое игроков по очереди кладут одинаковые монеты на круглый стол. Касаться уже лежащих монет или сдвигать их нельзя. Проигрывает тот, кто не может положить монету (так, чтобы она не упала со стола). Кто из игроков выиграет при правильной игре и как ему следует играть? 9. Докажите, что центральная симметрия не меняет расстояний: если точки A1 и B1 симметричны точкам A и B относительно точки O, то расстояния A1 B1 и AB равны. A B1 O B A1

10. Докажите, что при центральной симметрии отрезок переходит в отрезок. 11. Докажите, что при центральной симметрии прямая переходит либо в параллельную ей прямую, либо сама в себя. 12. Точка не лежит на прямой. Постройте прямую, симметричную данной прямой относительно данной точки. 13. Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность. 14. Верно ли, что центральная симметрия сохраняет величины углов? 15. Два равных отрезка лежат на параллельных прямых. Докажите, что существует центральная симметрия, переводящая один из них в другой. 16. Противоположные стороны шестиугольника попарно параллельны и равны. Докажите, что этот шестиугольник имеет центр симметрии. 17. Нарисуйте: а) четырехугольник; б) восьмиугольник, имеющие центр симметрии. 18. Mожет ли иметь центр симметрии пятиугольник? 19. Докажите, что любой эллипс имеет центр симметрии. Где находится ее центр?

20. Через данную точку M проведите прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данной прямой и данной окружности делился точкой M пополам.

21. Через данную точку M проведите прямую так, чтобы ее отрезок с концами на двух данных окружностях делился точкой M пополам. 22. Внутри треугольника взяли произвольную точку. Всегда ли можно провести через нее три прямые так, чтобы отрезок каждой из них внутри треугольника делился данной точкой пополам? 23. На круглый ломоть хлеба произвольно положили квадратный ломтик сыра. Как разрезать полученный бутерброд на две части, чтобы в них было поровну и хлеба, и сыра?

24. Некоторая фигура имеет две перпендикулярные друг другу оси симметрии. Докажите, что она имеет центр симметрии. *25. Фирма «Оригинальный кафель» выпускает плитки для пола в форме четырехугольников без равных и параллельных сторон. Докажите, что при определенном умении такими плитками можно замостить всю плоскость.

Параллелограммы Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны13 . Сâîéñòâà ïàðà ëëåëîãðàììà 1. Противоположные углы параллелограмма равны. 2. Противоположные стороны параллелограмма равны. 3. Диагонали параллелограмма пересекаются и делят друг друга пополам точкой пересечения. Пðèçíàêè ïàðà ëëåëîãðàììà 1. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник –– параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник –– параллелограмм. 3. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делят друг друга пополам, то этот четырехугольник –– параллелограмм. 4. Если у четырехугольника две стороны параллельны и равны одновременно, то этот четырехугольник –– параллелограмм. Расстоянием между параллельными прямыми называется длина отрезка общего перпендикуляра к этим прямым. Расстояние между параллельными прямыми не зависит от того, в какой точке проводится данный перпендикуляр, и является наименьшим возможным отрезком, соединяющим точки этих прямых. Высотой параллелограмма называется отрезок, перпендикулярный двум его противоположным сторонам (или их продолжениям).

1. Докажите первый признак параллелограмма.

13 В переводе с древнего греческого языка слово параллелограмм означает «вычерченный параллельными». Поэтому для его обозначения уместен знак #.

2. Две стороны четырехугольника параллельны, а одна его диагональ делит другую пополам. Докажите, что данный четырехугольник –– параллелограмм. 3. Через каждую вершину треугольника ABC параллельно его противоположной стороне провели прямую. Эти прямые образовали новый треугольник. Докажите, что вершины старого треугольника являются серединами сторон нового. B

4. На двух сторонах параллелограмма построили равносторонние треугольники так, как показано на рисунке. Докажите, что треугольник ABC равносторонний. 5. Докажите, что биссектриса угла, смежного с углом параллелограмма, перпендикулярна биссектрисе его противоположного угла.

6. Биссектрисы двух углов при одной стороне параллелограмма делят другую его сторону на три равные части. Найдите отношение сторон параллелограмма.

7. Вершины параллелограмма соединили с серединами его сторон так, как показано на рисунках. Докажите, что заштрихованные фигуры тоже параллелограммы.

8. Диагональ параллелограмма разбили на три равные части. Докажите, что полученные точки деления и две другие его вершины образуют новый параллелограмм. 9. Из трех параллелограммов составили шестиугольник так, как это показано на рисунке. Докажите, что этот шестиугольник можно разбить на три параллелограмма другим способом.

10. На клетчатой бумаге отметили точки A, B, C так, как это показано на рисунке. Где необходимо взять четвертую точку D, чтобы получился параллелограмм ABCD?

11. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает две другие стороны в точках M и K. Докажите, что MK 90◦ ? 3. На сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах построили круги. Покроют ли они весь четырехугольник? 4. а) На сторонах выпуклого пятиугольника как на диаметрах построили круги. Может ли существовать точка, покрытая всеми этими кругами? б) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника.

5. Противоположные углы четырехугольника тупые. Докажите, что соединяющая их диагональ меньше другой его диагонали. 6. Из некоторой точки внутри квадрата две его противоположные стороны видны под прямыми углами. Докажите, что данная точка –– центр квадрата. 7. Найдите геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.

ГМТ с постоянным углом

8. На плоскости даны отрезок AB и некоторая точка O. Через точку O проводят произвольные прямые. Из любой точки отрезка AB на каждую из таких прямых опускают перпендикуляр. Что представляет собой множество оснований этих перпендикуляров? B

*9. На плоскости даны четыре точки. Найдите множество центров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими соответственно через данные точки. 10. Дан треугольник. Постройте точку так, чтобы каждая его сторона была видна из этой точки под одним и тем же углом. Для любого ли треугольника есть такая точка? 11. (Точки Брокара.) Существуют ли внутри треугольника ABC такие точки M, что углы ABM, BCM и CAM равны? Сколько таких точек? B

12. На окружности заданы точки A и B. Точка C движется по окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников ABC. 13. Постройте треугольник по стороне, противоположному углу и высоте, проведенной из этого угла.

ГМТ с постоянным углом

14. Постройте треугольник по стороне, противоположному углу и медиане, проведенной к этой стороне. Может ли задача иметь более двух решений? 15. Постройте параллелограмм по длинам его сторон и углу между диагоналями. 16. Постройте треугольник по стороне, противоположному углу и радиусу вписанной в него окружности. 17. Внутри угла с вершиной O даны точки M и K. Через точки O и K проведите окружность так, чтобы она пересекала стороны угла в точках A и B, причем точка M лежала бы на отрезке AB. A M K

*18. Постройте треугольник по его основанию, противоположному углу и медиане, проведенной к боковой стороне. Сколько решений может иметь задача?

Угол между касательной и хордой Тåîðåìà. Угол между касательной и хордой окружности, проведенными в одной ее точке, равен половине градусной меры дуги окружности, находящейся внутри этого угла. Из теоремы сразу следует, что угол между касательной и хордой равен вписанному в эту окружность углу, опирающемуся на указанную дугу.

1. Докажите, что отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, параллелен касательной к его описанной окружности, проведенной в вершине треугольника. C

2. Через концы биссектрисы CD треугольника ABC провели окружность, которая касается стороны AB в точке D и пересекает другие его стороны в точках M и N. Докажите, что отрезок MN параллелен стороне AB. 3. Две окружности пересекаются в точках A и B. На одной из них взяли произвольную точку M. Прямые MA и MB вторично пересекают другую окружность в точках P и Q. Докажите, что прямая PQ параллельна касательной к первой окружности, проведенной в точке M.

Угол между касательной и хордой

4. Через точку касания двух окружностей проводят две произвольные прямые, пересекающие первую окружность в точках A и B, а вторую –– в точках C и D. Докажите, что прямые AB и CD параллельны. Разберите также случай внутреннего касания. A

5. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B провели прямую, которая вторично пересекла данные окружности в точках M и K. В этих точках к окружностям провели касательные, которые пересеклись в точке E. Докажите, что точки A, M, E, K всегда лежат на одной окружности. 6. В треугольнике ABC провели высоты AM и CK. Через точки B, K и M провели окружность. Докажите, что касательные к этой окружности, проведенные в точках M и K, пересекаются на стороне AC. B

7. Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к ним провели касательные, которые пересекают эти окружности в точках M и K. Прямые BM и KM вторично пересекают данные окружности в точках E и F. Докажите, что FM = EK.

Угол между касательной и хордой

8. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его стороны AC в точке M, а двух других его сторон в точках E и K. Докажите, что отрезок AC виден из середин отрезков ME и MK под одинаковым углом. B

9. Из точки M к окружности проведены касательные MA и MB. Еще одна окружность проходит через точки M и A и касается прямой AB. Пусть E –– точка пересечения данных окружностей, отличная от A. Докажите, что прямая BE делит отрезок AM пополам. C M

10. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Другая окружность проходит через точки B и C и касается стороны AD в точке E. Отрезки BE и CE пересекают диагонали четырехугольника в точках M и K. Докажите, что прямая MK параллельна AD.

Обратный ход Смысл данного приема заключается в том, что мы угадываем, где лежит данная точка в треугольнике: на пересечении биссектрис, высот, серединных перпендикуляров к его сторонам или других геометрических мест, связанных с треугольником. А потом доказываем, что другой такой точки не существует. Конечно, в каждом конкретном случае не исключено, что задачу можно решить и другим способом.

1. В остроугольном треугольнике ABC взяли точку M так, что ∠AMC + ∠ABC = 180◦ , ∠AMB + ∠ACB = 180◦ . Докажите, что точка M –– ортоцентр треугольника ABC. 2. В треугольнике ABC взята точка O так, что ∠ACO = ∠CAO = = 30◦ , ∠ABO = 20◦ , ∠CBO = 40◦ . Найдите ∠BOC. B 20 ◦

3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором ∠BDC = = 2∠BAC, ∠ADB = 2∠BCA. Докажите, что треугольник ADC равнобедренный. 4. Две вершины равностороннего треугольника скользят по разным сторонам угла, равного 150◦ . По какой траектории движется его третья вершина? 5. В треугольнике ABC взята точка M так, что ∠MAC = 20◦ , ∠MCA = 30◦ , а углы ABM и CBM равны 40◦ . Найдите ∠BMC. 6. Дан четырехугольник ABCD, в котором ∠DAC = 50◦ , ∠DCA = = 60◦ , а углы ABD и CBD равны 20◦ . Найдите угол между его диагоналями.

7. На медиане BM треугольника ABC взяли точку O так, что ∠AOC + ∠ABC = 180◦ . Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников ABO и CBO, касаются прямой AC. 8. В четырехугольнике ABCD биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M. Оказалось, что ∠BMC + ∠AMD = 180◦ . Докажите, что в данный четырехугольник можно вписать окружность. 9. Четырехугольник ABCD можно вписать в окружность. Сколько существует внутри него таких точек M, что ∠ABM = ∠DCM, ∠CBM = ∠DAM? 10. Точка O –– центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. Перпендикуляры, восстановленные в его вершинах к отрезкам AO, BO, CO и DO, образуют новый четырехугольник. Докажите, что точка O лежит на пересечении диагоналей нового четырехугольника. 11. Равносторонние треугольники ABC и BMK имеют общую вершину. Точки E и F –– середины отрезков AC и KM соответственно. Найдите угол между прямыми AM и EF. K

12. Отрезок AB является диаметром окружности и пересекает ее хорду CD. Другая окружность имеет центр в точке A и касается хорды CD. К этой окружности из точек C и D провели касательные. Докажите, что они пересекаются на прямой AB. *13. Один катет и гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника видны из некоторой точки под углами 135◦ . Докажите, что данная точка лежит на медиане треугольника. *14. В квадрате ABCD взяли точку M так, что ∠MAD = ∠MCA = = 26◦ . Найдите ∠MBC.

Площади Площадью фигуры называют число, показывающее, сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре. Для площадей справедливы свойства (или аксиомы), аналогичные аксиомам отрезков21 . Аêñèîìû ïëîùàäè 1. Площадь любой фигуры является неотрицательным числом. 2. Равные фигуры имеют равные площади. 3. Если фигура составлена из двух неперекрывающихся частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей. 4. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна 1. Тåîðåìà î ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Тåîðåìà î ïëîùàäè ïàðà ëëåëîãðàììà. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Тåîðåìà î ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Тåîðåìà î ïëîùàäè òðàïåöèè. Площадь трапеции равна произведению ее высоты на среднюю линию.

1. В одном футе 12 дюймов. Сколько квадратных дюймов в квадратном футе? 21 По сути можно сказать, что площадь –– это числовая функция, заданная на множестве плоских фигур и удовлетворяющая четырем указанным аксиомам.

2. Сколько клеток составляет площадь закрашенного треугольника на рисунках? а)

3. (Свойство медианы треугольника.) Докажите, что медиана делит площадь треугольника пополам. 4. В каком отношении делит площадь треугольника его средняя линия? 5. Площадь треугольника равна 1. Каждая его сторона отмеченными точками делится на равные части. Найдите площади закрашенных фигур на рисунках. а)

6. Площади закрашенных треугольников равны 1. Их стороны продолжили так, как показано на рисунках. Найдите площадь треугольника ABC. B

7. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих частей. 8. (Лемма о «крыльях бабочки».) Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Докажите, что площади двух треугольников, прилегающих к ее боковым сторонам, равны. Сформулируйте обратное утверждение и докажите его.

9. Отмеченные на рисунке точки –– середины сторон трапеции. Докажите, что площади закрашенных фигур равны. 10. Вершину трапеции соединили с серединой другой боковой стороны. Известно, что полученный отрезок делит ее площадь в отношении 2 : 5. Найдите отношение оснований трапеции. C B D 5S 2S A

11. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что две стороны четырехугольника параллельны. 12. В пятиугольнике ABCDE стороны BC и CD параллельны соответственно диагоналям AD и BE. Докажите, что треугольники ABC и CDE равновелики. 13. В пятиугольнике ABCDE стороны AB, BC и CD параллельны диагоналям CE, AD и BE соответственно. Верно ли, что треугольники ABE и CDE равновелики?

14. Через данную точку на стороне треугольника проведите прямую так, чтобы она делила его площадь пополам. Сколько таких прямых можно провести? C B S

15. Через точку O –– середину диагонали BD четырехугольника ABCD параллельно его диагонали AC провели прямую. Она пересекла сторону AD в точке M. Докажите, что отрезок CM делит площадь четырехугольника пополам. 16. Боковая сторона трапеции равна c, а расстояние до нее от середины другой боковой стороны h. Найдите площадь трапеции.

Зà ä à÷è ñ ïàðà ëëåëîãðàììàìè 17. Вершина параллелограмма и середины противоположных от нее сторон образуют треугольник. Какую часть составляет его площадь от площади всего параллелограмма?

18. Как разрезать квадрат по двум прямым, проходящим через его вершину, на три равновеликие части?

19. Точку внутри параллелограмма соединили со всеми его вершинами. Полученные отрезки разбили его на четыре треугольника. Площади трех из них, взятые по порядку, равны 2, 4 и 5. Найдите площадь четвертого. 20. Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что их площади равны.

21. Две точки на сторонах параллелограмма соединили с тремя его вершинами так, как это показано на рисунке. Докажите, что площадь одной из закрашенных на рисунке частей равна сумме площадей других. 22. Параллелограмм разрезали на четыре меньших параллелограмма. Два из них, закрашенные на рисунке, имеют равные площади. Докажите, что их общая вершина лежит на диагонали большого параллелограмма. C

23. Внутри параллелограмма ABCD взяли произвольную точку M. Прямая BM пересекает AD в точке E. Докажите, что площади треугольников AMD и CME равны.

Оòíîøåíèå ïëîùà äåé òðåóãîëüíèêîâ ñ ðàâíûì óãëîì 24. (Лемма о «воздушном змее».) Диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника. Докажите, что произведение площадей двух треугольников, прилегающих к его противоположным сторонам, равно произведению площадей других двух треугольников. S1 · S3 = S2 · S4 S2 

25. Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника. Площади двух из них, прилегающих к основаниям, равны 1 и 4. Найдите площадь трапеции. 26. В параллелограмме провели диагональ, а через не лежащую на ней вершину –– прямую. Они разбили параллелограмм на три треугольника и четырехугольник. Площади двух треугольников на рисунке равны 1 и 3. Найдите площадь четырехугольника.

27. (Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом.) Два треугольника имеют по равному углу. Докажите, что их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

28. Докажите утверждение, аналогичное предыдущей теореме, но для случая, когда углы дополняют друг друга до 180◦ . 29. На сторонах треугольника построили квадраты. Докажите, что закрашенные треугольники на рисунке равновелики.

30. Из вершины параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Найдите площадь треугольника, образованного этими высотами, если стороны параллелограмма равны a и b, а его площадь равна S. b a

*31. Каждая диагональ пятиугольника отсекает от него треугольник единичной площади. Найдите площадь пятиугольника.

Рàñ÷åò ÷àñòåé òðåóãîëüíèêà 32. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки M и K так, что AM : MB = BK : KC = 1 : 2. Вершину B соединили отрезком с такой точкой O на стороне AC, чтобы площади закрашенных на рисунке треугольника и четырехугольника были равны. Найдите AO : OC. B S

33. Точки M и K на сторонах треугольника соединили с противоположными вершинами. Оказалось, что закрашенные на рисунке треугольник и четырехугольник равновелики. Докажите, что точки M и K делят стороны в одинаковом отношении. 34. В треугольнике ABC найдите такую точку M, чтобы площади треугольников ABM, BCM и ACM были равны. Существуют ли такие точки вне треугольника? B

35. («Лемма о бумажном самолетике».) На стороне AC треугольника ABC взяли произвольную точку M. На отрезке BM взяли произвольную точку K. Докажите, что площади треугольников ABK и CBK относятся как AM : MC.

36. Каждую сторону треугольника разделили на равные части. Какую часть его площади составляют закрашенные треугольники на рисунках? а)

37. Каждую сторону треугольника разделили на равные части. Какую часть его площади составляют закрашенные фигуры на рисунках? а)

38. Две прямые делят треугольник на три треугольника и один четырехугольник. На рисунке цифрами обозначены площади треугольников. Найдите площадь четырехугольника.

39. Две прямые делят треугольник на три треугольника и четырехугольник. Площади двух треугольников на рисунке равны 2 и 5. Найдите площадь четырехугольника, если он равновелик третьему треугольнику.

40. Буквы на рисунке обозначают площади треугольников. Докажите, что если a = b, то c = d.

*41. Через каждую вершину треугольника провели прямую. Эти прямые разбивают треугольник на четыре меньших треугольника и три четырехугольника. Площади каждого из указанных треугольников равны 1. Докажите, что площади всех четырехугольников равны, и найдите площадь исходного треугольника.

Гðóïïèðîâêà ïëîùà äåé 42. Середины двух противоположных сторон четырехугольника соединили с двумя его вершинами так, как это показано на рисунке. Какую часть от площади исходного четырехугольника составляет закрашенная фигура?

43. В четырехугольнике отметили середины всех сторон. Докажите, что площадь параллелограмма с вершинами в этих точках составляет половину площади исходного четырехугольника.

44. Каждую сторону выпуклого четырехугольника разделили на три равные части. Соответствующие точки соединили так, как это показано на рисунке. Какую часть исходного четырехугольника составляет закрашенная фигура?

45. Середины диагоналей выпуклого четырехугольника соединили с двумя его вершинами так, как это показано на рисунке. Какую часть от площади четырехугольника составляет закрашенная фигура? 46. Параллелограмм разбили на девять меньших параллелограммов так, как это показано на рисунке. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если площадь центрального параллелограмма равна 1, а площадь исходного –– 13. B A  C D

47. Площадь закрашенного четырехугольника равна 1. Все его стороны продолжили на свою длину так, как это показано на рисунке. Найдите площадь получившегося большого четырехугольника.

48. Вершины четырехугольника соединили с серединами его сторон так, как показано на рисунке. Докажите, что площадь закрашенного четырехугольника равна сумме площадей закрашенных треугольников.

49. Середину стороны четырехугольника соединили с противоположными вершинами. Оказалось, что полученный треугольник составляет половину его площади. Докажите, что у четырехугольника две стороны параллельны. 50. Две противоположные стороны выпуклого четырехугольника разделили на три равные части. Соответствующие точки деления соединили так, как показано на рисунке. Докажите, что между получившимися отрезками находится ровно треть площади исходного четырехугольника. 51. Точки E и K –– середины сторон AD и CD четырехугольника ABCD. Отрезок BK пересекает диагональ AC в точке O. Докажите, что площадь треугольника OBE в два раза меньше площади треугольника ABC. C B

52. Вершины параллелограмма соединили с серединами его сторон так, как показано на рисунке. Какую часть площади параллелограмма составляет закрашенная фигура в центре?

53. Из медиан треугольника составили новый треугольник. Как относятся их площади? 54. Противоположные стороны шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что треугольники ACE и BDF равновелики. E

55. Площадь треугольника равна 1. Из середины каждой стороны треугольника опустили перпендикуляры на другие его стороны. Найдите площадь образованного ими шестиугольника. *56. Окружность с радиусом r вписана в треугольник. Она касается его сторон в точках M, E, K. Найдите площадь треугольника MEK, если площадь исходного треугольника равна S, а его стороны равны a, b, c. *57. Внутри равностороннего треугольника взяли точку. Ее соединили со всеми его вершинами, а также опустили перпендикуляры на все стороны. Получившиеся при этом шесть треугольников покрасили в черный и белый цвета так, как это показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей черных треугольников равна сумме площадей белых.

*58. Середины диагоналей выпуклого четырехугольника соединили с точкой пересечения продолжений двух его противоположных сторон. Докажите, что площадь получившегося треугольника равна 1/4 площади четырехугольника.

Применение площадей 1. Внутри выпуклого равностороннего многоугольника движется точка. Докажите, что сумма расстояний от нее до его сторон (или их продолжений) постоянна. 2. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а его гипотенуза –– c. Найдите высоту треугольника, опущенную на гипотенузу. 3. Две стороны треугольника равны 4 и 5. Расстояние от середины третьей его стороны до большей из них равно 2. Чему равно расстояние до меньшей стороны?

4. Стороны прямоугольного треугольника равны 6, 8 и 10. Внутри него взяли точку на расстоянии 1 от каждого катета. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы. 5. Окружность касается катетов прямоугольного треугольника, а ее центр лежит на гипотенузе. Найдите радиус данной окружности, если катеты равны a и b.

6. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским. Вне египетского треугольника взяли точку так, что расстояния от нее до продолжений его катетов равны 1 и 2 (см. рисунок). Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы. 

7. Стороны прямоугольного треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите расстояние от центра его вписанной окружности до медианы, проведенной к гипотенузе. 8. (Лемма о пропорциональных отрезках.) Несколько параллельных прямых пересекают стороны угла. Докажите, что отношение отрезков, которые они высекают на одной стороне угла, равно отношению соответствующих отрезков на другой его стороне. A B

AB : BC = A1 B1 : B1 C1

9. (Свойство биссектрисы треугольника.) Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. 10. Методом площадей докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

11. (Замечательное свойство трапеции.) а) Докажите, что середины оснований и точка пересечения диагоналей любой трапеции лежат на одной прямой. б) Докажите, что на той же прямой лежит точка схода ее боковых сторон (пересечение их продолжений).

12. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, проходит через точку пересечения его диагоналей. Верно ли, что это трапеция или параллелограмм? 13. Через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее боковым сторонам провели две прямые. Первая из них пересекла одно ее основание в точке M, а вторая –– другое основание в точке K. Докажите, что отрезок MK делит одну из диагоналей трапеции пополам. B K 3a

14. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K, так что AM/MB = 2/3, BK/KC = 4/5. Через середину отрезка MK и вершину B провели прямую. В каком отношении она делит сторону AC?

15. (Теорема Чевы.) а) Внутри треугольника ABC взяли произвольную точку O. Прямые AO, BO и CO пересекают стороны BC, AC и AB в точках N, K и M соответственно. Докажите, что верно соотношение AM/BM · BN/CN · CK/AK = 1. б) Сформулируйте и докажите обратное утверждение. B N

16. Вписанная в треугольник окружность касается его сторон в трех точках. Каждую из них соединили с противоположной вершиной. Докажите, что три полученных отрезка пересекаются в одной точке. 17. Используя теорему Чевы, еще раз докажите, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 18. На стороне AB треугольника ABC взяли точку K так, что AK : BK = 2 : 5. Точка E –– середина стороны BC. Отрезки AE и CK пересекаются в точке O, отрезки KE и BO пересекаются в точке T . Найдите KT : TE. B

19. На диагоналях AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD взяты такие точки M и K, что BM k CD, а CK k AB. Докажите, что отрезок MK параллелен AD. C B

20. Четыре диагонали пятиугольника соответственно параллельны четырем его сторонам. Докажите, что пятая диагональ пятиугольника также параллельна его стороне. 21. Квадраты расположены так, как показано на рисунке. Верно ли, что пунктирный отрезок всегда параллелен стороне «центрального» квадрата?

22. На клетчатой бумаге нарисовали многоугольник, вершины которого лежат в узлах, а стороны не проходят по ее линиям. Докажите, что сумма всех горизонтальных отрезков сетки, заключенных внутри многоугольника, равна сумме всех вертикальных. 23. В треугольнике ABC взяли произвольную точку M. Прямые AM, BM и CM пересекают стороны в точках A1 , B1 и C1 . Докажите, что MA1 /AA1 + MB1 /BB1 + MC1 /CC1 = 1.

Фîðìóëà äëÿ ïëîùà äè îïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà 24. (Формула для площади описанного многоугольника.) Многоугольник описан вокруг окружности с радиусом r. Докажите, что его площадь можно вычислять по формуле S = pr, где p –– половина периметра многоугольника.   r a

25. Высоты треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите радиус его вписанной окружности. 26. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а высота, опущенная на его основание, равна 3. Найдите радиус окружности, касающейся его боковых сторон, центр которой находится на основании треугольника. 27. Докажите, что площадь треугольника можно вычислять по формуле S = Ra (p − a), где p –– половина периметра треугольника, а Ra –– радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a. 28. Высота, опущенная на основание треугольника, равна радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. Докажите, что основание равно среднему арифметическому двух других сторон треугольника. 29. Пусть r –– радиус вписанной окружности треугольника, а Ra , Rb , Rc –– радиусы его вневписанных окружностей. Докажите, что 1/r = 1/Ra + 1/Rb + 1/Rc . 30. Прямая делит одну боковую сторону треугольника на отрезки с длинами 5 и 1, а другую –– на отрезки с длинами 4 и 3, считая от общей вершины. Найдите основание треугольника, если известно, что на данной прямой лежит центр вписанной в треугольник окружности.

31. Стороны треугольника равны 4, 5 и 6. Через середину его большей стороны и центр вписанной окружности провели прямую. В каком отношении она делит другую сторону треугольника? 32. Некоторая прямая делит площадь и периметр треугольника пополам. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке. 33. Площадь треугольника равна произведению радиусов вписанной в него окружности и одной из вневписанных окружностей. Докажите, что данный треугольник прямоугольный. *34. На основании AC равнобедренного треугольника ABC взяли точку M так, что окружность, вписанная в треугольник ABM, равна вневписанной окружности треугольника BCM, показанной на рисунке. Докажите, что радиусы этих окружностей равны четверти высоты треугольника, опущенной на боковую сторону. B h

Теорема Пифагора В современной формулировке эта знаменитая теорема звучит так: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Древние же греки, которые все переводили на геометрический язык, говорили так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

1. Покажите на клетчатой бумаге два узла, не лежащие на одной линии сетки, расстояние между которыми равно 5 клеткам. 2. Верно ли, что треугольник, изображенный на клетчатой бумаге, прямоугольный? 5

3. На клетчатой бумаге нарисуйте квадрат так, чтобы все его вершины лежали в узлах сетки, а площадь равнялась бы 41 клетке. 4. Определите высоту дома, ширина фасада которого равна 8 метрам, высота от фундамента до крыши равна 4 метрам, а длина ската крыши равна 5 метрам. 5. Основания равнобокой трапеции равны 1 и 2, а ее площадь равна 3. Найдите диагональ трапеции. 6. Стороны треугольника равны 5, 12 и 13. Докажите, что он прямоугольный. 7. Две стороны треугольника равны 3 и 5, а медиана, проведенная к третьей, равна 2. Найдите площадь треугольника.

8. Лестница состоит из 40 ступеней. Высота каждой ступени равна 12,5 см, ширина –– 30 см. Определите длину перил лестницы.

9. Даны три отрезка с длинами p a, b и c. Как циркулем и линейкой построить отрезок, равный a2 + b2 + c2 ? 10. Стороны треугольника равны 2, 3 и 4. В каком отношении делит его высота б´ ольшую из них? 11. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, а его основание равно 6. Найдите радиус описанной окружности. 12. Основания равнобокой трапеции равны 6 и 8, а ее высота равна 1. Найдите радиус описанной окружности трапеции. 13. На стороне квадрата как на диаметре построена окружность. Из его вершины, не лежащей на окружности, к ней проведена касательная. В каком отношении эта касательная делит сторону квадрата?

14. Бумажный квадрат перегнули так, что одна его вершина оказалась в середине не содержащей ее стороны. В каком отношении точка K, лежащая на линии сгиба, делит сторону квадрата? 15. На сколько километров удалена от человека, стоящего на берегу моря, линия горизонта? (Средний рост человека –– 1,7 м, радиус Земли –– 6400 км.)

16. Две окружности радиусов R и r касаются друг друга внешним образом, а также одной прямой в точках A и B. Докажите, что расстояние между p точками их касания с прямой вычисляется по формуле AB = 2 Rr.  R r

17. Диагонали прямоугольной трапеции перпендикулярны, а ее основания равны 2 и 8. Найдите высоту трапеции. 18. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки с длинами p и q. Найдите площадь треугольника.

19. Диагонали трапеции перпендикулярны, а их длины равны 6 и 8. Найдите высоту трапеции.

Сðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå 20. Найдите высоту прямоугольного треугольника, если длины отрезков, на которые она разбивает гипотенузу, равны a и b. p 21. Геометрически докажите, что ab ¶ (a + b)/2. 22. Даны два отрезка с длинами a и b. Циркулем и линейкой постройте их p среднее геометрическое, то есть отрезок, длина которого равна ab.

23. Дан единичный отрезок. Сpпомощью циркуля и линейки p p 4 постройте отрезки с длинами 2, 1 + 2. 24. Даны отрезки с длинамиpa, b, c и d. Как циркулем и линейкой построить отрезок, равный ab + cd ? 25. Постройте квадрат, равновеликий а) данному прямоугольнику; б) данному четырехугольнику. 26. Точка E –– середина стороны CD параллелограмма ABCD. На отрезок AE опустили перпендикуляр BH. На сторону BC опустили перпендикуляр HK. Найдите HK, если BK = 2, CK = 3. C

27. Окружность касается двух параллельных прямых и секущей, причем точка касания делит секущую на два отрезка с длинами a и b. Найдите радиус окружности. 28. Две окружности касаются внутренним образом. Линия их центров вторично пересекает меньшую окружность в точке A, а б´ ольшую –– в точке B. Хорда большей окружности, перпендикулярная прямой AB, пересекает ее в такой точке C, что эта точка и меньшая окружность делят хорду на четыре равные части. Найдите AC : AB.

Чåòûðåõóãîëüíèê ñ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè äèàãîíà ëÿìè 29. (Теорема о четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями.) а) Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что суммы квадратов его противоположных сторон равны. б) Докажите обратное утверждение. C a

a2 + c2 = b2 + d 2

30. Две медианы треугольника перпендикулярны друг другу. Докажите, что его стороны удовлетворяют соотношению a2 + b2 = 5c2 . 31. В шестиугольнике ABCDEF углы A и C прямые, причем AB = BC, CD = DE, EF = FA. Докажите, что прямые BE и FD перпендикулярны. 32. Внутри прямоугольника взяли точку. Оказалось, что расстояния от нее до трех его вершин равны последовательно 1, 7 и 8. Найдите расстояние от данной точки до четвертой вершины.    x

33. Радиусы двух окружностей равны 5 и 20, а расстояние между их центрами –– 16. Найдите сторону ромба, две противоположные вершины которого лежат на одной окружности, а две оставшиеся –– на другой.

Рàçíûå çà ä à÷è 34. Окружность радиуса 1 разбили на 10 равных частей. Найдите сумму квадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех 10 точек деления. 35. Один конец меньшего основания трапеции равноудален от концов ее большего основания, а из другого конца меньшего основания большее основание видно под прямым углом. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2 и 5.  

36. Одна вершина трапеции удалена от трех других ее вершин на расстояние 13. Найдите диагональ трапеции, не выходящую из этой вершины, если другая ее боковая сторона равна 10. 37. (Доказательство Евклида теоремы Пифагора.) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу треугольника, делит построенный на ней квадрат на два прямоугольника. Докажите, что площади этих прямоугольников равны площадям квадратов, построенных на катетах треугольника. Выведите отсюда теорему Пифагора.

38. Выразите радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности через его стороны, а его площадь через этот радиус и докажите теорему Пифагора. 39. Восстановите по чертежу Леонардо да Винчи данное им доказательство теоремы Пифагора. M O

40. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b, его гипотенуза равна c, а высота, опущенная на гипотенузу, равна h. Докажите, что из отрезков a + b, h и c + h можно построить прямоугольный треугольник. Чему равна его гипотенуза? 41. Из точки M к окружности проведены две касательные. На прямой, проходящей через середины получившихся отрезков, выбирается любая точка O. Докажите, что длина касательной OL, проведенной из нее к окружности, равна OM. *42. На гипотенузе AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC взяли точки E и K так, что ∠ECK = 45◦ . Найдите гипотенузу треугольника, если AE = 5, BK = 12. C 45◦

Кîíôèãóðàöèîííûå çà ä à÷è 43. Цветок лилии возвышается над поверхностью озера на 10 см, а если его потянуть за стебель, он коснется воды в метре от своего прежнего положения. Определите глубину озера в данном месте.  cм м

44. На стороне квадрата взяли точку так, что она равноудалена от одной его вершины и середины соседней стороны (см. рисунок). В каком отношении эта точка делит сторону квадрата?

45. Сторона квадрата равна 1. Найдите сторону равностороннего треугольника, одна вершина которого совпадает с вершиной квадрата, а две другие лежат на его сторонах.

46. Точка касания окружности, вписанной в полукруг, делит его диаметр на два отрезка с длинами 3 и 6. Найдите радиус этой окружности.

47. Найдите сторону квадрата, две вершины которого лежат на окружности радиуса 1, а две другие –– на касательной к ней. 48. Две окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, касающейся данных, а также их общей внешней касательной. Сколько решений имеет задача?

49. В сектор круга радиуса 1 с углом 45◦ вписан квадрат, так что одна его вершина лежит на окружности. Найдите площадь квадрата.

50. Квадрат со стороной 1 вписан в окружность. Найдите сторону квадрата, вписанного в один из получившихся сегментов.

51. В сектор круга радиуса 1 с углом 90◦ вписали квадрат так, что две его вершины лежат на окружности. Найдите площадь квадрата. 52. Сторона большого квадрата, вписанного в полукруг, равна 1. Найдите сторону маленького квадрата на рисунке.

53. Сторона квадрата равна 1. На рисунках проведены окружности, центры которых лежат либо в вершинах квадрата, либо в серединах его сторон. Найдите радиусы закрашенных окружностей на рисунках. а)

54. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а его гипотенуза –– c. Найдите радиус окружности, которая касается катетов, а также изнутри касается описанной окружности треугольника.

55. Сторона квадрата равна 1. Найдите сторону закрашенного квадрата на рисунке. 56. (Задача Архимеда.) Хорда делит круг на два сегмента. В каждый из них вписано по окружности, касающейся ее в середине. Кроме того, в каждый сегмент вписали еще по одной окружности, которые касаются первых двух. Докажите, что их радиусы равны. Найдите их радиус, если радиусы первых двух окружностей равны R и r.

*57. В окружность с радиусом 1 вписан равносторонний треугольник. Найдите сторону квадрата, две вершины которого лежат на окружности, а две оставшиеся –– на двух сторонах треугольника. Обратите внимание на то, что существуют как симметричный, так и несимметричный случаи расположения квадрата!

Ответы и указания Аêñèîìû ïðÿìîé. 3. 1. 4. 6. 5. 1, 4 или 6. 7. Могут. 8. 190. 9. 104. 10. 43. 12. AE пересекает прямую. 14. Аксиома полуплоскостей. 16. Нельзя. 18. Нет. 19. 24 или 210. Оòðåçêè. 3. Нет. 5. 4 см. 6. a/2. 7. 3,25 см. 8. 26 : 9. 9. 1 см или 4 см. 10. 1,5 см или 3,5 см. 12. Точка C. 13. 5 или 11. 14. 2 или 8. 15. 4 или 20. 16. 49,5 см, 46,5 см, 43,5 см или 40,5 см. 17. 8/3. 19. В любой точке отрезка между «средними» домами. Уãëû. 1. 75◦ . 2. 90◦ . 4. 30◦ или 70◦ . 6. 110◦ . 8. 60◦ . 10. 130◦ или 50◦ . 12. 65◦ . 13. 6◦ . 14. а) 105◦ ; б) 80◦ . 15. 9 ч 12 мин. 17. ≈ 22 сек. 18. 82,5◦ или 97,5◦ . Лîìàíûå, ìíîãîóãîëüíèêè. 1. 0, 1, 2, 3, 5, 7. 2. 9 или 10. 3. а) 60; б) 12. 7. Могут. 8. Не обязательно. 9. 170. 10. 11. 11. Точка находится во внутренней области. 12. Может. 14. 8. Вûïóê ëûå ôèãóðû. 1. Фигура выпукла, если отрезок, соединяющий любые две точки фигуры, полностью принадлежит этой фигуре. 2. а) Да; б) да; в) нет. 3. Прямая разбивает плоскость на две выпуклые области. Рàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê. 11. Нет, неверно. Тðåòèé ïðèçíàê ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ. 4. Да. Пðîäîëæåíèå ìåäèàíû íà ñâîþ äëèíó. 2. 1 : 2. 5. 55◦ . 6. Указание: продлите отрезок, соединяющий основания медиан, на свою длину. Рàâåíñòâî ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ. 1. Могут. Тåîðåìà î áîëüøåé ñòîðîíå. 6. ∠CBM > ∠ABM.

Ответы и указания

Нåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. 3. 4, 5, 6. 4. 29. 12. 3, 4, 5, 6, 7. 13. Да. 22. Точка должна быть на пересечении диагоналей. 24. Указание: примените неравенство медианы. 25. Указание: попробуйте «вырезать» меньший треугольник из большего, делая разрезы по прямым линиям. 29. Может. Пàðà ëëåëüíîñòü. Сóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà. 4. 40◦ . 7. 45◦ , 45◦ , 90◦ или 36◦ , 36◦ , 72◦ . 8. 50◦ или 70◦ . 9. 126◦ . 10. 360◦ . 12. 90◦ + α/2. 13. 2α. 14. 150◦ . 15. Верно. 16. Да. 18. 180◦ . 19. 180◦ . 21. 90◦ . 22. 180◦ /7. 23. а) 45◦ ; б) 72◦ ; в) 36◦ ; г) 540◦ /7. 24. 90◦ − α/2. 25. 90◦ + β/2. 27. а) Да; б) да; в) нет. 28. Указание: подумайте, есть ли другие способы построения параллельной? Рàñ÷åò óãëîâ â ðàâíûõ òðåóãîëüíèêàõ, äîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ. 2. 45◦ . 6. Верно. 9. Может. 10. 45◦ . 11. 2. 12. 60◦ . 16. BK. Гåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê. 2. а) Прямая является серединным перпендикуляром к AB; б) прямая параллельна серединному перпендикуляру к AB. 4. Одна. 6. Указание: рассуждайте от противного. 7. 2. B

16. Луч OK, где O –– центр квадрата, K –– середина AB. 19. На двух прямых –– биссектрисах двух пар вертикальных углов. 21. Одна. 22. Одна. Зíàêîìñòâî ñ îêðóæíîñòüþ. 4. Нужные точки лежат на одной прямой с центром и с точкой A. 5. Точка лежит на перпендикуляре, опущенном из центра окружности на прямую. 13. 6. 25. а) Нет; б) да. 27. 80◦ или 160◦ . 28. 40◦ . 29. 3. 30. 45◦ . Пîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è ëèíåéêîé. 12. Бесконечно много. Зíàêîìñòâî ñ ñèììåòðèåé. 4. Можно. 8. Например, y = (x − 1)2 . 13. 1. 14. 2. 16. 2. 23. Не всегда.

Ответы и указания

Кðàò÷àéøèå ïóòè. 5. 1. 6. 1. 7. 0,5. Оòðàæåíèÿ è çåðêà ëà. 8. 360◦ − 2α. 9. 2α. 11. 18. 12. 1 : 3. 13. 11. Цåíòðà ëüíàÿ ñèììåòðèÿ. 1. Можно. 8. Первый. 14. Верно. 18. Нет. 22. Всегда. Пàðà ëëåëîãðàììû. 6. 1 : 3 или 2 : 3. 19. Верно. Дîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ïàðà ëëåëîãðàììîì. 2. Одну. 5. 1 : 2. 7. a + 2b. 8. a + 2b. 9. Не могут. 10. 60◦ и 120◦ . 14. 9. 15. Обязательно. Тðàïåöèÿ. 1. Например, трапеза. 2. Обязательно. 6. Не существует. 9. Не более 4 решений. 11. b − a. 12. Нет. 13. 60◦ . 17. a + b. 18. a/2. 20. b − a. 21. Не могут. 22. Указание: разбейте треугольник на три трапеции. 23. Указание: разбейте данную трапецию на четыре трапеции. 24. 90◦ . Пðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, êâà äðàò. 16. 45◦ . 17. 45◦ . 18. 60◦ . Мåäèàíà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. 3. Четверть окружности. 8. 3 : 1. 9. (b − a)/2. 10. (a + b)/2. 11. (a + b)/2. Сðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà. 1. 3. 12. 60◦ . 13. Указание: проведите диагональ. 13. 0,5. 17. 1 : 3. 20. a/2. 21. c/4. 22. (b − a)/2. 26. 2 : 3. 28. 1 : 3. 36. Нет, не могут. 38. (a + b − c)/2. Сðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè. 4. Верно. 5. (b − a)/2. 6. 1 : 2. 7. 0,25. 8. На прямой, равноудаленной от данных прямых. 9. Указание: проведите диагональ. 11. |a + b − c − d|/2. 12. a) (p + q)/2; б) |p − q|/2. 13. 8. Указание: отметьте центр параллелограмма. 15. 19/32. 16. Указание: отметьте центры параллелограммов. Мåäèàíû òðåóãîëüíèêà. 2. Можно. Указание: продлите отрезок, соединяющий основания медиан, на свою длину. 4. 3 : 2. 5. 2 : 1. 6. 2 : 1. 8. 1 : 2. Пðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ñ óãëîì 30◦ . 3. 30◦ . 4. 1 : 3. 5. 3/8. 6. 1 : 4. 7. 2a + b. 8. 0,25. 9. 15◦ . 10. 0,25. 12. 60◦ . 13. 2 : 1.

Ответы и указания

Тåîðåìà Фà ëåñà. 3. 2/15. 4.

2a + b a + 2b и . 5. 1 : 2. 6. 5 : 7. 7. 1 : 2. 3 3

8. 3,5. 14. 90◦ . 15. 0,5. 16. 3 : 1. 18. 1,5. 23. 3 : 7. 24. Точка движется по окружности вдвое меньшего радиуса. 35. 6. 36. Искомые точки лежат на окружности, центр которой находится в середине отрезка, соединяющего центры двух данных окружностей. 38. 0,25. К àñàòåëüíûå ê îêðóæíîñòè. 1. Указание: примените рассуждение от противного. 3. Центр движется по отрезку, параллельному полу. 9. Две. 11. 90◦ . 12. 120◦ . 13. 1 : 2. 14. 75◦ и 105◦ . 15. 1,5. 17. 1. 19. 1,5. 20. (a + c − b)/2. 21. 1. 22. 6. 26. |b − a|. 27. c. 28. 6. 31. 4. Пîñòðîåíèå êàñàòåëüíûõ. 15. Нет, не обязательно. К àñàíèå îêðóæíîñòåé. 1. Указание: проведите рассуждение от противного. 3. 2R. 5. 90◦ . 6. R/3. 7. 1 : 3. 11. R + r. 17. 5 : 3. 21. 135◦ . Бèññåêòðèñû ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. 1. Верно. 3. 90◦ + + α/2. 4. Нет. 6. Можно. 7. α. 10. 0; 2 или 4. 11. 90◦ − α/2. 12. 2. 13. 5. 15. 2,5. 16. (a + b)/2. 18. 1,5. 21. 80◦ . Вïèñàííûå óãëû. 1. Нет. 4. 30◦ или 150◦ . 15. а) 90◦ ; б) 54◦ . 25. 1. 26. a + b. 29. Верно. Пðèçíàêè âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. 4. 90◦ . 6. 45◦ . 7. 30◦ или 150◦ . 33. 70◦ . 35. 135◦ . 39. 80◦ и 100◦ . ГМТ ñ ïîñòîÿííûì óãëîì. 3. Да. 4. а) Нет; б) может. 7. Окружность, построенная как на диаметре на отрезке, соединяющем данную точку с центром данной окружности. Концы диаметра не входят в множество. 8. Объединение кругов с диаметрами OA и OB без их пересечения. 9. Окружность, построенная как на диаметре на отрезке, соединяющем середины AC и BD, без концов этого диаметра. 10. Все углы треугольника должны быть меньше 120◦ .

Ответы и указания

11. Одна. 12. а) Окружность, симметричная данной относительно прямой AB. 14. Может, если угол равен 90◦ . 18. Не более 2 решений. Оáðàòíûé õîä. 2. 100◦ . 4. По окружности с центром в вершине угла. 5. 110◦ . 6. 80◦ . 9. Одна. 11. 30◦ . 14. 38◦ . Пëîùà äè. 1. 144. 2. а) 3,5; б) 0,5. 4. 1 : 3. 5. а) 1/6; б) 1/3; в) 5/9. 6. а) 7; б) 2,5. 10. 3 : 4. 13. Верно. 14. Одну. Указание: проведите медиану треугольника. 16. ch. 17. 3/8. 18. Нужные точки делят стороны квадрата в отношении 1 : 2. 19. 3. 25. 9. 26. 11. 27. Указание: расположите равные углы как вертикальные. p 30. S3 /(2a2 b2 ). 31. (5 + 5)/2. 32. 7 : 2. 34. Всего существует 4 такие точки. 36. а) 1/12; б) 0,4. Указание: примените лемму о «бумажном самолетике». 37. а) 1/7; б) 11/60; в) 1/60. 38. 3,4. p 39. 0,5. 41. 7 + 3 5. 42. 1/2. 44. 5/9. 45. 1/4. 46. 7. 47. 5. 52. 1/5. 53. 3/4. 55. 1/2. 56. 2rS2 /abc. Пðèìåíåíèå ïëîùà äåé. 2. ab/c. 3. 2,5. 4. 3,4. 5. ab/(a + b). 6. 4,4. 7. 0,2. 12. Верно. 14. 20 : 27. 15. Указание: а) воспользуйтесь леммой «о крыльях самолетика»; б) проведите рассуждение от противного. 18. 4 : 7. 21. Верно. 25. 60/47. 26. 1,5. 30. 5,9. 31. 1 : 6. Тåîðåìà Пèôàãîðà. 2. Неверно. 4. 7 метров. 5. p 2,5. 7. 6. 8. 13 метров. 10. 11 : 21. 11. 25/8. 12. 5. 13. 1 : 3. 14. 3 : 5. 15. 2Rh ~ 4,6 км. p p 17. 4. 18. pq. 19. 4,8. 20. ab. 26. 4. 27. ab. 28. 1 : 3. 32. 4. 33. 13. 34. p 20. 35. p 5,25. 36. 24. 40. c + h. 42. 30. 43. 4 м 95 см. 44. 1 : 7. 45. 6 − 2. 46. 2. 47. 1,6. 48. 1,44 или 36. Указание: воспользуйтесь задачей 17. 49. 0,2. 50. 0,2. 51. 0,4. 52. 0,5. 53. а) 1/6; б) 1/4; в) 0,16; г) 2/9. 54. a + b − c. 55. 0,2. 56. Rr/(R + r). 57. 1 (для симметричного v t 3 случая) или p (для несимметричного случая). 4− 3

Учебно-методическое издание Волчкевич Максим Анатольевич óðîêè ãåîìåòðèè â çàäà÷àõ. –– êëàññû Подписано к печати 31.07.2018 г. Гарнитура ITC Charter. Формат 60 × 90/16. Печать офсетная. Объем 13 печ. л. Доп. тираж 2000 экз. Заказ № Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-08-04 Отпечатано в ООО «Типография Миттель Пресс“». ” г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6. Тел./факс +7 (495) 619-08-30, 647-01-89. E-mail: [email protected] Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (495) 745-80-31. E-mail: [email protected]

В шестиугольнике нет параллельных сторон сколько существует точек которые равноудалены от трех

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

Определение: Геометрическим местом точек называется геометрическая фигура на плоскости, каждая точка которой обладает одним и тем же определенным свойством.

Метод геометрических мест применяется чаще всего при построениях. Например, серединный перпендикуляр к отрезку можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от точек концов отрезков; окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Теорема (о геометрическом месте точек). Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть даны точки А и В, а точка С – середина отрезка АВ. Нужно найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В.

Доказательство основано на свойстве серединного перпендикуляра к отрезку.

Серединный перпендикуляр СК, принадлежащий прямой а, как и любая точка этой прямой, — есть геометрическое место точек, равноудаленных от А и В, так как СКꓕАВ.

Допустим, что есть еще точка К₁, расстояние до которой от А и В одинаково.

Рассмотрим ∆АК₁В, он разбит отрезком К₁С на два треугольника: ∆АК₁С и ∆К₁СВ. Если эти треугольники равны, то точка К₁ тоже удалена на одинаковое расстояние от А и В.

Через точку С проходят две прямые СК и СК₁. На основании теоремы 16 (о единственности перпендикуляра из точки к прямой), если СКꓕАВ по построению, то СК₁ не может быть перпендикулярна АВ.

Так как из двух смежных углов (∟К₁СА и ∟К₁СВ) один должен быть острый, а второй – тупой, то ∆К₁СА≠∆К₁СВ, следовательно, К₁А≠К₁В (есть две равные стороны, АС=ВС и К₁С – общая, но нет равных углов между ними), значит, К₁С – наклонная к АВ и АК₁≠ВК₁.

Метод геометрических мест

Определение: Сущность метода геометрических мест в том, что при наличии не одного, а нескольких условий для построения геометрической фигуры, нужно построить несколько геометрических фигур, которые по очереди будут удовлетворять каждому из условий, а потом найти такое геометрическое место точек, которое при пересечении или совмещении этих фигур будет удовлетворять всем условиям построения.

Например: Даны три точки: А, В, С.

Построить точку Х, равноудаленную от А и В и находящуюся на расстоянии h от точки С.

1.Построим геометрическое место точек, удовлетворяющее первому условию: это будет серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Прямая а, которая содержит серединный перпендикуляр к отрезку АВ, удовлетворяет полностью первому условию.

2.На перпендикуляре (прямая а) должна находится точка Х, которая удовлетворяла бы второму условию (расстояние от нее до С должно составлять h).

Если из точки С радиусом h провести окружность, то все точки окружности будут расположены от С на одинаковом расстоянии h (построили второе геометрическое место точек, равноудаленных от С).

3.Пересечение первого геометрического места точек (прямая а) и второго (окружности с центром в точке С) будет удовлетворять обоим условиям задачи. Точки пересечения окружности и прямой (Х₁ и Х) и будут теми искомыми точками, которые равноудалены от точек А и В и находятся от С на расстоянии h.