Построение середины отрезка
Дано: отрезок АВ.
Построить: середину АВ.
Решение:
Строим с помощью линейки произвольный отрезок АВ.
Далее с помощью циркуля строим две окружности радиуса АВ с центрами в точках А и В.
Получаем две точки пересечения данных окружностей. Обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точки Р и Q прямую РQ.
Точку пересечения прямой РQ и отрезка АВ обозначим О.
Докажем, что точка О — искомая точка, т.е. точка О — середина отрезка АВ.
Рассмотрим треугольники РАQ и РВQ.
По построению АР = ВР, АQ = BQ (как радиусы одинаковых окружностей), PQ — общая, следовательно, 
РАQ =РВQ по 3 признаку равенства треугольников. Значит, по свойству равных треугольников 
АРО =ВРО, тогда РО — биссектриса АРВ.
В АРВ АР = ВР (как радиусы одинаковых окружностей), следовательно, АРВ — равнобедренный, тогда по свойству равнобедренного треугольника биссектриса РО АРВ и его медиана, следовательно, точка О — середина отрезка АВ. Что и требовалось доказать.
Построения циркулем и линейкой
С помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки (в данном случае мы говорим о линейке без масштабных делений). С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равному данному отрезку. Эти операции помогают решать задачи на построение:
- построить отрезок, равный данному;
- построить угол, равный данному;
- построить биссектрису угла,
- через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;
- разделить данный отрезок пополам, т.е. найти середину данного отрезка и т.д.
Пример:
На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
Дано: луч ОС, отрезок АВ.
Построить: отрезок ОD = ОА.
Решение:
Строим с помощью линейки произвольные отрезок АВ и луч ОС.
Далее прикладываем циркуль к отрезку АВ так, чтобы его игла стояла на одном конце отрезка, а грифель карандаша на другом, тем самым получаем раствор циркуля, равный отрезку АВ. Затем, не меняя раствор циркуля, прикладываем его иглой к точке О луча ОС и строим окружность (всю окружность строить необязательно, достаточно той ее части, которая пересекает луч АС), получаем окружность радиуса АВ с центром в точке О.
Точу пересечения данной окружности с лучом ОС обозначим D. Получаем отрезок ОD — искомый отрезок, т.е. ОD = ОА.
1. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник
Отрезок \(AC\) называется перпендикуляром, проведённым из точки \(A\) прямой \(a\), если прямые \(AC\) и \(a\) перпендикулярны.
Точка \(C\) называется основанием перпендикуляра.
От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Докажем, что от точки \(A\), не лежащей на прямой \(BC\), можно провести перпендикуляр к этой прямой.
Допустим, что дан угол ∠ ABC .
Отложим от луча \(BC\) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне \(BC\)).
Сторона \(BA\) совместится со стороной B A 1 .
При этом точка \(A\) наложится на некоторую точку A 1 .
Следовательно, совмещается угол ∠ ACB с ∠ A 1 CB .
Но углы ∠ ACB и ∠ A 1 CB — смежные, значит, каждый из них прямой.
Прямая AA 1 перпендикулярна прямой \(BC\), а отрезок \(AC\) является перпендикуляром от точки \(A\) к прямой \(BC\).
Если допустить, что через точку \(A\) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой \(BC\), то он бы находился на прямой, пересекающейся с AA 1 . Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.
Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.
У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.
Все медианы пересекаются в одной точке.
Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части );
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.
У треугольника три угла и три биссектрисы.
Все биссектрисы пересекаются в одной точке.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника ( в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике );
2) из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней ( перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 ° ) — это и будет высота.
Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются.
Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.
Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.
Обрати внимание!
Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самым коротким отрезком.
Как построить медиану треугольника с помощью циркуля
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Поэтому задача построения медианы с помощью циркуля и линейки сводится к задаче нахождения середины отрезка.
Статьи по теме:
- Как построить медиану треугольника с помощью циркуля
- Как найти середину
- Как начертить треугольник
Вам понадобится
- — циркуль
- — линейка
- — карандаш
Инструкция
Постройте треугольник ABC. Пусть необходимо провести медиану из вершины С к стороне AB.
Найдем середину стороны AB. Установите иглу циркуля в точке A. Другой конец циркуля поставьте в точку B. Тем самым ножками циркуля вы отмерили длину AB. Проведите окружность с центром в точке A и радиусом R, равным AB.
Затем, не меняя расстояния между ножкам циркуля, установите иглу циркуля в точке B. Проведите окружность с центром в точке В и тем же радиусом AB.
Окружности, проведенные из точек А и В, должны пересечься в двух точках. Назовите их, например, М и Т.
Соедините линейкой точки М и Т. Точка, в которой отрезок МТ пересечет отрезок АВ, и будет являться серединой отрезка АВ. Назовем эту точку точкой Е.Кстати, прямая МТ будет не только делить отрезок АВ пополам, но и являться перпендикуляром к нему. Так что если перед вами стоит задача построить перпендикуляр к отрезку, действуйте по той же схеме, что и для нахождения середины отрезка.
Итак, поскольку Е — середина стороны АВ, то отрезок СЕ будет являться искомой медианой треугольника, проведенной из вершины С к стороне АВ. Соедините при помощи линейки точки С и Е.
Если необходимо провести также медианы из вершин треугольника А и В к сторонам ВС и АС соответственно, проделайте аналогичную процедуру. Помните, что все три медианы треугольника должны пересечься в одной точке.
В стороне от чертежа описывайте свои действия. Последовательно отмечайте, что вы строите. Какие линии, окружности вы проводите, и какими буквами обозначаете точки, получаемые на пересечениях.
В задачах на построение циркулем и линейкой обычно требуется не только построить что-либо, но и доказать, что используемая последовательность действий привела к нужному результату.По построению четырехугольник АМВТ является ромбом (АМ=ВМ=АТ=ВТ=AB). Ромб — частный случай параллелограмма. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (свойство параллелограмма). То есть, точка Е, полученная на пересечении диагоналей ромба АВ и МТ, дает середину АВ. Т.к. точка Е — середина АВ, то СЕ — медиана треугольника АВС (по определению). Что и требовалось доказать.
Совет полезен?
Статьи по теме:
- Как провести касательные к окружностям
- Как построить биссектрису
- Как найти точку пересечения высот треугольника
Добавить комментарий к статье
Похожие советы
- Как провести биссектрису угла
- Как построить сопряжение
- Как найти координаты точек пересечения медиан
- Как доказать, что треугольник равнобедренный