Дифференцируемые функции в точке – определение и свойства
Определение дифференцируемой функции одной переменной в точке. Важность понятия дифференцируемости для функций, зависящих от многих переменных. Доказательство теорем: об эквивалентности дифференцируемости и существованием производной; о непрерывности дифференцируемой функции.
Определение дифференцируемой функции
Дифференцируемая функция в точке Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки .
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от и о-малого по сравнению с :
(1) .
Здесь – действительная величина, зависящая от , но не от ; ;
– о-малое по сравнению с при . То есть
, где .
Как мы увидим ниже, определение дифференцируемой функции одной переменной эквивалентно существованию ее производной. Тогда возникает вопрос – почему нельзя сразу дать определение, что дифференцируемая функция – это функция, имеющая производную?
Ответ на этот вопрос раскрывается при рассмотрении функций нескольких переменных. Дело в том, что производные вычисляются только от функций, зависящих от одной переменной. Для функций двух и более переменных, вначале выбирают направление приближения к заданной точке (например, ось x или ось y ), а затем по этому направлению вычисляют производную. Поэтому в любой точке мы можем составить бесконечное множество производных по различным направлением. Кроме этого, по одним направлениям производные могут существовать, а по другим – нет.
Но мы хотим ввести новый класс функций, с которыми проще работать методами бесконечно малых величин. Самыми простыми являются линейные функции. Поэтому желательно выделить такой класс функций, приращения которых можно свести к линейным операциям. Это можно сделать, если потребовать, чтобы приращение функции было линейной функцией от приращений ее аргументов плюс о-малое по сравнению с этими приращениями. Такие функции называются дифференцируемыми. Например, для функции двух переменных можно записать так:
,
где – действительные величины, не зависящие от ;
– норма вектора .
Дифференцируемая функция многих переменных в точке Пусть функция многих переменных определена в некоторой окрестности точки .
Функция f называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращений ее аргументов и о-малого по сравнению с нормой приращений аргументов:
.
Здесь – действительные величины, зависящие от , но не от ; ;
– о-малое по сравнению с при ;
.
Свойства дифференцируемой функции
Теорема о существовании производной дифференцируемой функции
Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда
в этой точке существует производная . При этом
.
Доказательство
Таким образом, в случае функции одной переменной, дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию производной в этой точке. Забегая вперед укажем, что в случае функций многих переменных, для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
Пусть функция дифференцируема в точке .
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Заметим, что обратное неверно. Если функция непрерывна в точке, то она может не быть дифференцируемой в этой точке. Так функция непрерывна для всех x , но не имеет производной при . См пример
Лемма об односторонних производных
Функция имеет в точке x производную тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны:
.
При этом
.
Доказательство
Доказательства теорем
Теорема о существовании производной дифференцируемой функции
Все свойства Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда
в этой точке существует производная . При этом
.
Доказательство
1) Пусть функция дифференцируема в точке , то есть выполняется (1):
.
Разделим на и выполним переход :
;
.
Здесь, согласно свойству о-малого, . Отсюда получаем, что существует конечный предел
,
который является производной функции в точке : .
2) Пусть в точке существует производная . Это означает, что существует предел:
.
Воспользуемся свойством бесконечно малых функций. согласно которому, для существования предела необходимо и достаточно, чтобы функция имела вид: , где – бесконечно малая функция при .
В нашем случае это означает, что
.
Отсюда
.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
Все свойства Пусть функция дифференцируема в точке .
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Используем определение непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, функция f непрерывна в , если
1) определена в некоторой окрестности ;
2) существует предел при , и он равен :
.
Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда согласно определению ⇑, она определена в некоторой окрестности точки . Пункт 1) выполнен.
Докажем, что выполняется пункт 2) . Поскольку дифференцируема в точке , то выполняется (1):
.
Выполняем предельный переход :
;
;
;
.
Сделаем подстановку . Тогда при . Последнее уравнение принимает вид:
.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-11-2021 Изменено: 25-05-2022
Дифференцируемая функция
Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.
Свойства [ ]
- Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того ( f ( x ) = f ( x 0 ) + A ⋅ ( x − x 0 ) + o ( x − x 0 ) ) ⇔ ( f ′ ( x 0 ) = A ) . f(x)=f(x_)+A\cdot (x-x_)+o(x-x_)\Leftrightarrow f'(x_)=A.>
- Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
- Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть ( f ∈ D ( x 0 ) ) ⇒ ( f ∈ C ( x 0 ) ) . f\in <\mathcal
>(x_)\Rightarrow f\in C(x_).>
Касательная прямая [ ]
См. также основную статью: Касательная прямая
Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является f l : R → R :\mathbb \to \mathbb > , задаваемая уравнением f l ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) (x)=f(x_)+f'(x_)(x-x_)> , называется касательной к функции f в точке x 0 . <\displaystyle x_.>
Примеры [ ]
- Функция f ( x ) = x 2 > определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление f ( x ) = f ( x 0 ) + 2 x 0 ( x − x 0 ) + ( x − x 0 ) 2 . )+2x_(x-x_)+(x-x_)^.>
- Функция f ( x ) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x 0 = 0 , <\displaystyle x_=0,> её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определен и её дифференциал.
См. также [ ]
- Производная функции;
- Непрерывная функция.
Эта статья содержит материал из статьи Дифференцируемая функция русской Википедии.
Дифференциал функции
Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x$, то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно $\Delta x$ и нелинейного членов:
$\Delta y=f^<\prime>(x) \cdot \Delta x+\alpha(\Delta x) \cdot \Delta x$
где $\alpha(\Delta x) \rightarrow 0$ при $\Delta x \rightarrow 0$.
Дифференциалом функции называется линейная относительно $\Delta x$ часть приращения функции. Она обозначается как $d y$ или $d f(x)$. Таким образом:
Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.
Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:
Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:
Отсюда получаем, что
Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь — отношение дифференциалов функции и аргумента.
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции в точке $x_$ равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента $\Delta x$.
14 Свойства функций, непрерывных на отрезке
Непрерывность функции в некоторой точке, которую мы обсуждали на прошлой лекции — это её локальное свойство — оно характеризует, как функция ведёт себя близко к этой точке. Сегодня мы поговорим о том, какими глобальными свойствами обладают непрерывные функции.
14.1 Определение и примеры
Определение 1. Рассмотрим функцию f . Пусть есть некоторый отрезок [ a , b ] , принадлежащий области определения этой функции. Скажем, что функция непрерывна на отрезке [ a , b ] , если она непрерывна во всех точках интервала ( a , b ) , а на концах выполняется условие односторонней непрерывности: в точке a функция непрерывна справа, а в b слева.
Пример 1. Рассмотрим функцию
f ( x ) = ⎧ ⎨ ⎩ x − 1 , x < 1 , x 2 , 1 ≤ x ≤ 2 , x , x >2.
Она непрерывна на отрезке [ 1 , 2 ] , но не является непрерывной в точках 1 и 2 .
Вопрос 1. Является ли эта функция непрерывной на отрезке [ 0 , 1 ] ?
Неверный ответ. К чему стремится значение функции когда x → 1 − ? Чему равно значение функции в точке x = 1 ?
Верный ответ. Верно, условие односторонней непрерывности слева в точке 1 нарушается.
Пример 2. Рассмотрим функцию
f ( x ) = < 1 / x , x ≠ 0 , 0 , x = 0.
Она является непрерывной на интервале ( 0 , 1 ) , но не является непрерывной на отрезке [ 0 , 1 ] .
14.2 Ограниченность
Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке [ a , b ] . Тогда она ограничена на этом отрезке.
Замечание. Давайте рассмотрим такое «доказательство» этого факта. Поскольку f непрерывна на отрезке, она имеет предел в каждой точке отрезка. Если функция имеет предел в некоторой точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (см. теорему 1 из лекции 12 ). Поскольку это верно для всех точек отрезка, получается, что функция ограничена вблизи любой точки, и значит ограничена на всём отрезке.
Это доказательство неверно. В частности, мы нигде не используем тот факт, что работаем именно на отрезке, а не, скажем, на интервале. При этом, как показывает пример 2 , функция может быть непрерывной на интервале, но при этом не быть ограниченной на этом интервале.
Вопрос 2. В чём проблема с этим рассуждением, почему оно не работает?
Верный ответ. Дело в том, что для разных точек мы получаем разные окрестности, и в каждой окрестности число C , которое ограничивает модуль функции, своё. Этих точек и их окрестностей бесконечно много, и среди них может быть невозможно выбрать одно универсальное значение C , которое обслуживало бы сразу все окрестности.
Доказательство. Мы хотим доказать, что найдётся такое C , что для всех x ∈ [ a , b ] выполняется неравенство | f ( x ) | < C . Докажем от противного. Пусть это не так. Тогда для всякого C найдётся такое x = x ( C ) ∈ [ a , b ] , что | f ( x ) | >C .
Построим последовательность < x n >следующим образом. Положим C n = n и пусть x n = x ( C n ) = x ( n ) . Тогда для всех n выполняется неравенство | f ( x n ) | > n .
Последовательность < x n >является ограниченной, поскольку для всех n выполняются неравенства
a ≤ x n ≤ b . (14.1)
По теореме Больцано — Вейерштрасса , из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, то есть существует такая последовательность натуральных чисел < n k >и такое число x ∞ , что x n k → x ∞ . По теореме о предельном переходе в неравенствах, примененной к неравенствам (14.1) , имеем:
то есть x ∞ также лежит на отрезке [ a , b ] . Поскольку значения f ( x n k ) не меньше n k (по построению последовательности x n ), и n k стремится к бесконечности при k → ∞ , значения f ( x n k ) также стремятся к бесконечности при k → ∞ .
Функция f определена в точке x ∞ (поскольку она определена на всём отрезке [ a , b ] ) и непрерывна в этой точке. Значит, её предел при x → x ∞ существует (может быть односторонний, если x ∞ совпадает с граничными точками a или b ) и равен f ( x ∞ ) . Но x n k → x ∞ и по определению предела по Гейне, это означает, что f ( x n k ) → f ( x ∞ ) . (Из-за непрерывности функции f в точке x ∞ в определении предела по Гейне можно убрать требование о том, чтобы последовательность не посещала точку x ∞ , см. упражнение 1 из предыдущей лекции.) Но f ( x n k ) → ∞ и значит этот предел не может существовать. Противоречие! ∎
Вопрос 3. Где в этом доказательстве мы воспользовались тем, что имеем дело именно с отрезком, а не, например, с интервалом? Иными словами, где доказательство «сломается», если мы попробуем с его помощью доказать, что функция 1 / x ограничена на интервале ( 0 , 1 ) (что неверно).
Верный ответ. Ключевой шаг состоит в предельном переходе в неравенстве (14.1) . Если взять интервал ( a , b ) вместо отрезка, x ∞ может ему не принадлежать: строгие неравенства при предельном переходе превращаются в нестрогие.
14.3 Теорема о корне
Теорема 2. Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [ a , b ] , а на концах отрезка принимает значения разных знаков: это можно записать как f ( a ) f ( b ) < 0 (произведение чисел отрицательно тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки). Тогда существует точка c ∈ ( a , b ) , являющаяся корнем функции f , то есть такая точка, что f ( c ) = 0 .
Замечание. Эта теорема выглядит достаточно очевидной, если посмотреть на график. Пусть, например, f ( a ) < 0 и f ( b ) >0 . График функции начинается в точке ( a , f ( a ) ) ниже горизонтальной оси, а заканчивается в точке ( b , f ( b ) ) выше её. Поскольку функция непрерывна, её график выглядит как линия, которую можно провести, не отрывая карандаша от бумаги (примерно так определяют непрерывные функции в школе). Визуально кажется очевидным, что он обязан пересечь горизонтальную прямую, иначе никак не добраться из нижней половины плоскости в верхнюю. Однако, для аккуратного доказательства нам придётся опираться не (только) на геометрическую интуицию, а на определения.
Доказательство. Доказательство очень похоже на доказательство теоремы Больцано — Вейерштрасса . Попробуем поймать наш корень в ловушку. Пусть x 1 — середина отрезка [ a , b ] , который мы обозначим через I 1 . Если f ( x 1 ) = 0 , положим c = x 1 , и всё доказано. Пусть теперь f ( x 1 ) ≠ 0 . Тогда знак f ( x 1 ) не совпадает либо со знаком f ( a ) , либо со знаком f ( b ) (потому что знаки f ( a ) и f ( b ) разные — если совпадает с одним, значит, не совпадает с другим). Положим I 2 : = [ a , x 1 ] , если знаки f ( a ) и f ( x 1 ) разные, и I 2 : = [ x 1 , b ] в противном случае. Тогда на концах отрезка I 2 функция гарантированно принимает значения разных знаков, и с ним можно повторить ту же процедуру: разделить отрезок пополам, обозначить середину за x 2 , если f ( x 2 ) = 0 , всё доказано, если нет, выбрать ту из половинок, на концах которой функция принимает значения разных знаков, обозначить её за I 3 и т.д.
Если этот процесс никогда не прекратится (то есть ни одна из точек x n не является корнем), мы получим бесконечную последовательность вложенных отрезков I 1 ⊃ I 2 ⊃ I 3 ⊃ … , длины которых стремятся к нулю.
Значит, по лемме о вложенных отрезках 1 , существует единственная точка c , принадлежащая всем отрезкам, и она является пределом последовательностей концов этих отрезков. Пусть I k : = [ l k , r k ] , то есть мы обозначили левый конец через l k , а правый через r k . Тогда
l r → c , r k → c .
Кроме того, мы знаем, что для всех натуральных k функция принимает разные знаки на концах I k , и следовательно f ( l k ) f ( r k ) < 0 . Сделаем предельный переход в этом неравенстве при k → ∞ . Имеем:
lim k → ∞ f ( l k ) f ( r k ) ≤ 0.
С другой стороны, согласно определению предела по Гейне и исходя из непрерывности функции f ,
lim k → ∞ f ( l k ) = f ( c ) , lim k → ∞ f ( r k ) = f ( c ) .
По теореме о пределе произведения отсюда следует, что
lim k → ∞ f ( l k ) f ( r k ) = lim k → ∞ f ( l k ) ⋅ lim k → ∞ f ( r k ) = f ( c ) ⋅ f ( c ) = f ( c ) 2 .
lim k → ∞ f ( l k ) f ( r k ) = lim k → ∞ f ( l k ) ⋅ lim k → ∞ f ( r k ) = = f ( c ) ⋅ f ( c ) = f ( c ) 2 .
Таким образом, f ( c ) 2 ≤ 0 . Но квадрат любого вещественного числа неотрицателен! Значит, единственная альтернатива — f ( c ) = 0 . Значит, c — искомый корень. ∎
Замечание. Когда мы учимся, если нам нужно решить уравнение, как правило, наши преподаватели позаботились о том, чтобы уравнение действительно решалось, причём именно теми методами, которые мы знаем. На практике, однако, так бывает далеко не всегда: как правило уравнения не решаются явно. А решать их надо. Тогда в ход идут численные методы, позволяющие находить приближенные решения различных математических задач, как правило, с помощью компьютера. Приведенное доказательство замечательно тем, что не просто позволяет навести строгость на и без того понятный факт, а даёт конкретный алгоритм отыскания корня с любой точностью. Он называется методом бисекции отрезка. Вы можете легко запрограммировать его на любом известном вам языке программирования, и решить какое-нибудь заведомо нерешаемое уравнение (например, cos x − x = 0 ).
Замечание. Теорема, которую мы доказали, говорит о том, что корень существует, но ничего не говорит о его единственности. Конечно, корней может быть больше, чем один.
Теорема 3. (Теорема о промежуточном значении) Пусть f непрерывна на отрезке [ a , b ] . Тогда для всякого y , лежащего между f ( a ) и f ( b ) , найдётся такой x ∈ [ a , b ] , что f ( x ) = y .
Эта теорема является следствием из теоремы о корне , доказательство оставим в качестве упражнения для семинаров.
14.4 Заключение
Мы обсудили два важных свойства функций, непрерывных на отрезке. Это первый в нашем курсе пример перехода от локальных свойств функции, выражающихся в терминах пределов, к каким-то глобальным свойствам. В дальнейшем мы ещё не раз столкнёмся с аналогичными задачами. Отметим также, что хорошие свойства непрерывных функций этими двумя не исчерпываются, и мы ещё к ним вернёмся.