Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке которая является центром окружности вписанной в
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Подсказка
Точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от всех сторон треугольника.
Решение
Пусть O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC , проведённых из вершин B и C . Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла B , то она равноудалена от прямых AB и BC . В то же время точка O лежит на биссектрисе угла C , поэтому она равноудалена от прямых AC и BC . Значит, точка O равноудалена от прямых AB и AC . Так как она находится внутри треугольника ABC, то лежит и на биссектрисе угла A .
Замечания
Поскольку точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон, она является центром вписанной в треугольник окружности.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 5 |
| Название | Треугольники |
| параграф | |
| Номер | 0 |
| Название | Вводные задачи |
| задача | |
| Номер | 05.000.2 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Какое из следующих утверждений верно? 1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей. 2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 3) Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
Утверждение не верно. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей, умноженного на синус угла между ними.
Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Утверждение не верно. Сумма острых углов параллелограмма равна 90 0 .
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.
Утверждение верно. Центр вписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрис его внутренних углов.
Ответ: Утверждение 3 верно.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке которая является центром окружности вписанной в
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и лежащий на биссектрисе угла треугольника.
AL – биссектриса треугольника ABC
Точка пересечения биссектрис треугольника
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника и является центром окружности, вписанной в треугольник.
\(I\) – точка пересечения биссектрис
Свойство биссектрисы треугольника
Отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих к этим отрезкам сторон треугольника.
Формула длины биссектрисы
Свойство биссектрисы вписанного угла
Биссектриса угла, вписанного в окружность, делит пополам дугу, на которую он опирается. Хорды, стягиваемые дугами, которые стороны данного угла и его биссектриса высекают на окружности, также равны.
Теорема о трилистнике
Пусть биссектриса угла \(A\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную окружность этого треугольника в точке \(W\), и пусть \(I\) – центр вписанной окружности треугольника \(ABC\). Тогда \(WB=WC=WI\). При этом \(AI\cdot WI =2Rr\), где \(R\) и \(r\) – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника \(ABC\) соответственно.
Подобные треугольники и метрические соотношения
При обозначениях, показанных на рисунке (\(m=CW\)),
Биссектриса треугольника
Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.
На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .
ТЕОРЕМА 1 (свойство биссектрисы угла треугольника) . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).
Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.
Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:
что и требовалось доказать.
СЛЕДСТВИЕ 1 (формулы для длин отрезков, на которые биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону) .
Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения
b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.
что и требовалось доказать.
СЛЕДСТВИЕ 2 (формулы для длин отрезков, на которые биссектрисы углов треугольника делятся в точке пересечения) .
Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .
Тогда справедлива формула:
что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 2 (формула, выражающая длину биссектрисы через две стороны и угол треугольника) .
Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.
Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Из рисунка 5 следует формула
Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:
что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 3 (формула, выражающая длину биссектрисы через стороны треугольника) .
Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6
откуда с помощью Теоремы 2 получаем:
что и требовалось доказать.
ЗАДАЧА (формула для угла между биссектрисой и высотой, проведенных из одной вершины, через углы треугольника) .
Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .
Доказать, что выполнено равенство:
РЕШЕНИЕ . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то
Поскольку CE – высота, то
что и требовалось доказать.
Из решения этой задачи вытекает простое следствие.
СЛЕДСТВИЕ . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны формулой:
Справочник по математике для школьников
- Арифметика
- Алгебра
- Тригонометрия
- Геометрия (планиметрия)
- Геометрия (стереометрия)
- Элементы математического анализа
- Вероятность и статистика
Геометрия (планиметрия)
- Основные фигуры планиметрии
- Фигуры, составляющие основу планиметрии
- Углы на плоскости
- Теорема Фалеса
- Углы, связанные с окружностью
- Признаки параллельности прямых
- Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
- Свойства и признаки равнобедренного треугольника
- Свойства и признаки прямоугольного треугольника
- Свойства сторон и углов треугольника
- Подобие треугольников
- Теорема Пифагора. Теорема косинусов
- Биссектриса треугольника
- Медиана треугольника
- Высота треугольника. Задача Фаньяно
- Средние линии треугольника
- Теорема Чевы
- Теорема Менелая
- Описанная окружность. Теорема синусов
- Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
- Площадь треугольника
- Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Вневписанные окружности
- Четырехугольники
- Параллелограммы
- Трапеции
- Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
- Описанные четырехугольники
- Площади четырехугольников
- Многоугольники
- Правильные многоугольники
- Углы, связанные с окружностью
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
- Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
- Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
- Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Вневписанные окружности
- Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
- Описанные четырехугольники
- Площади четырехугольников
- Площадь треугольника
- Вывод формул Герона и Брахмагупты
- Средние линии
- Геометрические места точек на плоскости
- Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости
Учебные пособия для школьников
- Задачи на проценты
- Квадратный трехчлен
- Метод координат на плоскости
- Прогрессии
- Решение алгебраических уравнений
- Решение иррациональных неравенств
- Решение логарифмических неравенств
- Решение логарифмических уравнений
- Решение показательных неравенств
- Решение показательных уравнений
- Решение рациональных неравенств
- Решение тригонометрических уравнений
- Степень с рациональным показателем
- Системы уравнений
- Тригонометрия в ЕГЭ по математике
- Уравнения и неравенства с модулями
- Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами
Демоверсии ЕГЭ
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
- Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе
Демоверсии ОГЭ
- Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
- Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
- Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
- Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
- Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
- Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
- Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе