При каком сопротивлении мощность выделяемая во внешней цепи такая же как и при сопротивлении 10 ом

При каком сопротивлении мощность выделяемая во внешней цепи такая же как и при сопротивлении 10 ом

Решение:

Из закона Ома для полной цепи

Полезная мощность – мощность, выделяющаяся во внешней цепи (на нагрузке)

Отсюда внутреннее сопротивление генератора

КПД – отношение полезной мощности к полной.

Полная мощность – мощность, выделяющаяся на внешнем и внутреннем сопротивлениях (во всей цепи)

Полезная мощность – мощность, выделяющаяся во внешней цепи (на нагрузке)

Ответ:

Мощность, выделяемая во внешней цепи с потребителями

Решение задач на экстремум с компьютерной поддержкой

Предлагаемые задачи рассматриваются с учениками 10-х и 11-х классов на заседании школьного физического кружка. Они требуют знаний по теме «Законы постоянного тока», умения исследовать функции на экстремум при помощи производной, а также навыков программирования на компьютере.

ЗАДАЧА 1. Найдите зависимость мощности, выделяемой во внешней цепи, от числа одинаковых потребителей (лампочек), соединённых параллельно. ЭДС источника , его внутреннее сопротивление r.

Пусть сопротивления всех лампочек одинаковы R₁ = R₂ = . = R_n, P – мощность, выделяемая во внешней цепи, P₁ – мощность, выделяемая на каждой лампочке. Очевидно, что P = nP₁; P₁ = I₁ 2 R₁, где I₁ – ток, проходящий через каждую лампочку.

Сила тока в неразветвлённой цепи:

Применяя первое правило Кирхгофа, имеем

С учётом (2) имеем для мощности

Полная мощность, выделяемая во внешней цепи:

Нетрудно заметить , что если n , то P 0. Это означает, что при неограниченном увеличении количества лампочек мы не достигнем бесконечного увеличения мощности, выделяемой во внешней цепи. Напротив, мощность будет стремиться к нулю.

Из формулы (3) следует также, что если r 0, то P n 2 /R. То есть, если источник тока идеален (r = 0), то мощность возрастает прямо пропорционально числу потребителей в цепи. Но внутреннее сопротивление источника тока не может быть равно нулю, поэтому достигнуть бесконечного увеличения мощности во внешней цепи за счёт увеличения числа потребителей невозможно. Напротив, достигнув максимума, мощность, выделяемая во внешней цепи, начнёт уменьшаться с ростом потребителей.

Для получения полной картины зависимости мощности Р от количества потребителей n, можно предложить учащимся построить график зависимости P(n) на компьютере ( = 20 В, r = 0,5 Ом, R₁ = 100 Ом). В рубрике «Дополнительные материалы» на сайте газеты http://fiz.1september.ru приводим авторскую компьютерную программу WATT для построения вышеупомянутой зависимости (среда программирования QBasic, компьютер Celeron1300).

Изменяя внутреннее сопротивление r при неизменных и R₁, делаем вывод: мощность P, выделяемая во внешней цепи, убывает с ростом r. Изменяя R₁ при неизменных и r, делаем вывод: от сопротивления одной лампочки максимум мощности P не зависит. Этот максимум сдвигается вправо при увеличении R₁ и сдвигается влево при уменьшении R₁. Число ламп в цепи, при котором наблюдается максимум мощности, равно n_max = R₁/r. То есть мощность, выделяемая во внешней цепи, максимальна, если внутреннее сопротивление источника тока равно внешнему сопротивлению цепи: r = R₁/ n_max. Расчётные результаты отлично согласуются с результатами следующей, похожей, задачи.

ЗАДАЧА 2. При каком значении R мощность, выделяемая во внешней цепи, максимальна? ЭДС источника тока , внутреннее сопротивление r.

Получим формулу зависимости мощности P, выделяемой во внешней цепи, от внешнего сопротивления R и исследуем функцию P(r) на экстремум при помощи производной.

По закону Ома для полной цепи, ток I =/(R + r), мощность, выделяемая во внешней цепи:

Найдём критические точки из условия P’ = 0:

Имеем две критические точки R = –r и R = r . Но т.к. R > 0, то R = –r не имеет смысла. Производная P’ меняет знак с «+» на «–» в точке R = r, следовательно, R = r – точка минимума.

Итак, мощность максимальна, если R = r, т.е. внутреннее сопротивление источника тока равно внешнему сопротивлению. Это означает, что применительно к задаче 1 максимум мощности наблюдается при R = r, но т.к. сопротивление n одинаковых ламп равно R = R₁/n, то r = R₁/n, или n = n_max = R₁/r.

Рассчитаем максимум мощности, используя формулу (3) и условие r = R₁/n:

При = 12 В, r = 0,4 Ом и R₁= 20 Ом имеем n_max = R₁/r = 50 ламп.

Согласно формуле (4), P_max = 90 Вт. Всё это очень хорошо согласуется с результатами компьютерного эксперимента. Кроме того, из этой формулы следует, что максимум мощности зависит от внутреннего сопротивления обратно пропорционально, в чём легко убедиться, используя компьютерную программу WATT, приведённую на сайте газеты http://fiz.1september.ru.

В заключение необходимо сказать, что все выше приведённые выкладки, а также результаты, полученные с помощью компьютерной программы для цепей постоянного тока, справедливы и для цепей переменного тока.

Возможен более современный подход, если использовать для моделирования таблицу МicrosoftExcel. Если R – внешнее сопротивление цепи, то Построим график для тех же данных: 1 = 20 В, r = 0,5 Ом, меняя R от 0,1 до 2,7 Ом с шагом 0,1 Ом. Для этого в ячейку B4 введём формулу =$B$1^2*A4/(A4+$B$2)^2 и скопируем её в ячейки В5–В30. Графики, построенные с помощью таблицы Excel и программы WATT, совпадают (максимум мощности 200 Вт получается, если внешнее сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока). В рубрике «Дополнительные материалы» к № 9/2008 на сайте газеты приведена программа «Мощность», аналогичная программе WATT, но на более продвинутом языке VisualBasic6.0, результат расчёта с её помощью, а также таблица МicrosoftExcel.

Сергей Николаевич Карташов – учитель физики высшей квалификационной категории, выпускник физфака МПГУ им. В.И.Ленина 1993 г. Педагогический стаж 14 лет. Ученики Сергея Владимировича занимают призовые места на районных олимпиадах по физике и математике. Педагогическое кредо: моделирование физических процессов на компьютере, индивидуальная работа с сильными детьми. Один закончил физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, ещё один учится в университете им. Н.Э.Баумана. В 2002 г. Сергей Владимирович был награждён почётной грамотой МОиН РФ. Женат, сыну 3,5 года. Хобби: шахматы, решение олимпиадных задач по физике и математике, кулинария.

При каком сопротивлении мощность выделяемая во внешней цепи такая же как и при сопротивлении 10 ом

Задача по физике — 6246

2018-02-07
Определите зависимость от сопротивления внешней цепи $R$ силы тока; напряжения на сопротивлении $R_$ мощности $P_$, выделяемой во внешней цепи; мощности $P_$, выделяемой внутри источника тока; полной мощности $P$, развиваемой источником, а также КПД источника тока.
Постройте графики $I(R);U(R); P_(R); P_(R); P(R); \eta (R)$.

Согласно закону Ома дли полной цепи $I = \frac< \mathcal>$.
При $R = 0 I_ = \frac< \mathcal>$. Ток изменяется обратно пропорционально величине внешнего сопротивлении (рис. а). Для напряжения на внешнем сопротивлении получаем: $U = IR = \frac< \mathcalR>$.

При $R = 0, U = 0$, когда $R \rightarrow \infty, U \rightarrow \mathcal$. Полная мощность, выделяющаяся в цепи, $P = P_ + P_, I \mathcal = I^R + I^r $.

Мощность, выделяемая во внешней цепи: $P_ = I^R = \frac< \mathcal^R > <(R + r)^>$.

Определим, при каком внешнем сопротивлении выделяется наибольшая полезная мощность. В этом случае $\frac > = 0$.

Поскольку: $\mathcal \neq 0, R = r$.

Исследуем знак производной для точек, соответствующих $R r$. В первом случае $\frac> > 0$, во втором $\frac> < 0$.

Это означает, что в точке $R = r$ полезная мощность максимальна. Значение $P_$ в максимуме: $P_ = \frac< \mathcal^ >$.

Мощность, выделяемая внутри источника тока: $P_ = I^r = \frac<\mathcal^r ><(R + r)^>$; при $R = 0, P_(0) = \frac< \mathcal^>$, если $R = r, P_ = \frac< \mathcal^>$.

Полная мощность $P = I \mathcal = \frac< \mathcal^>$ при $R = 0$, совпадает со значением $P_$ и равна $\frac< \mathcal^>$. Это случай короткого замыкания, когда вся мощность выделяется на внутреннем сопротивлении источника тока.

Если $R = r$ то $P = \frac< \mathcal^>$, вдвое больше, чем $P_$, то есть половина полной мощности расходуется внутри самого источника тока, а половина выделяется на внешнем сопротивлении $R$.

С увеличением $R$ полная мощность $P$ и $P_$ монотонно спадают (рис. в) при этом быстрее уменьшается мощность $P_$, выделяемая внутри источника, что ведет к увеличению КПД с ростом $R$ (рис. г).

Из графика (рис. в) для $P_$ видно, что одна и та же полезная мощность может быть получена при двух значениях $R$, одно из которых ($R_$) меньше, а другое ($R_$) больше $r$.

Коэффициент полезного действия $\eta = \frac > = \fracR >> = \frac$.

Когда $R = r, \eta = 0,5$, мы получаем максимальную полезную мощность.

Исследование зависимости мощности и КПД источника тока от внешней нагрузки

I- сила тока в цепи; Е- электродвижущая сила источника тока, включённого в цепь; R- сопротивление внешней цепи; r- внутреннее сопротивление источника тока.

МОЩНОСТЬ, ВЫДЕЛЯЕМАЯ ВО ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ

. (2)

Из формулы (2) видно, что при коротком замыкании цепи (R®0) и при R® эта мощность равна нулю. При всех других конечных значениях R мощность Р₁> 0. Следовательно, функция Р₁ имеет максимум. Значение R₀, соответствующее максимальной мощности, можно получить, дифференцируя Р₁ по R и приравнивая первую производную к нулю:

. (3)

Из формулы (3), с учётом того, что R и r всегда положительны, а Е ? 0, после несложных алгебраических преобразований получим:

Следовательно, мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наибольшего значения при сопротивлении внешней цепи равном внутреннему сопротивлению источника тока.

При этом сила тока в цепи (5)

равна половине тока короткого замыкания. При этом мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает своего максимального значения, равного

. (6)

Когда источник замкнут на внешнее сопротивление, то ток протекает и внутри источника и при этом на внутреннем сопротивлении источника выделяется некоторое количество тепла. Мощность, затрачиваемая на выделение этого тепла равна

. (7)

Следовательно, полная мощность, выделяемая во всей цепи , определится формулой

= I 2 (R+r) = IE (8)

КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ

КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ источника тока равен . (9)

Из формулы (8) следует, что

, (10)

т.е. Р₁ изменяется с изменением силы тока в цепи по параболическому закону и принимает нулевые значения при I = 0 и при . Первое значение соответствует разомкнутой цепи ( R>> r ), второе – короткому замыканию ( R

(11)

Таким образом, к.п.д. достигает наибольшего значения h =1 в случае разомкнутой цепи ( I = 0), а затем уменьшается по линейному закону, обращаясь в нуль при коротком замыкании.

Зависимость мощностей Р₁, Р_полн = EI и к.п.д. источника тока от силы тока в цепи показаны на рис.1.

Из графиков видно, что получить одновременно полезную мощность и к.п.д. невозможно. Когда мощность, выделяемая на внешнем участке цепи Р₁, достигает наибольшего значения, к.п.д. в этот момент равен 50%.

МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

Соберите на экране цепь, показанную на рис. 2. Для этого сначала щелкните левой кнопкой мыши над кнопкой э.д.с. в нижней части экрана. Переместите маркер мыши на рабочую часть экрана, где расположены точки. Щелкните левой кнопкой мыши в рабочей части экрана, где будет расположен источник э.д.с.

Разместите далее последовательно с источником резистор, изображающий его внутреннее сопротивление (нажав предварительно кнопку в нижней части экрана) и амперметр (кнопка там же). Затем расположите аналогичным образом резисторы нагрузки и вольтметр , измеряющий напряжение на нагрузке.

Подключите соединительные провода. Для этого нажмите кнопку провода внизу экрана, после чего переместите маркер мыши в рабочую зону схемы. Щелкайте левой кнопкой мыши в местах рабочей зоны экрана, где должны находиться соединительные провода.

4. Установите значения параметров для каждого элемента. Для этого щелкните левой кнопкой мыши на кнопке со стрелкой . Затем щелкните на данном элементе. Подведите маркер мыши к движку появившегося регулятора, нажмите на левую кнопку мыши и, удерживая ее в нажатом состоянии, меняйте величину параметра и установите числовое значение, обозначенное в таблице 1 для вашего варианта.

Таблица 1. Исходные параметры электрической цепи