Какие из углов ham hbm tce и hpm являются вписанными

Итоговый урок по теме «Окружность», 8 класс
презентация к уроку по геометрии (8 класс) на тему

Данная разработка урока полностью охватывает материал по теме «Окружность». Имеется теоретическое и практическое приложение.

Скачать:

Вложение	Размер
okruzhnost_itogovyy_urok_10.05.16.ppt	1.01 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

ТЕМА : ” ОКРУЖНОСТЬ ” . Итоговый урок, 8а,б,в 10.05.16

Окружность. Радиус. Хорда. Диаметр . Центральный угол. Центральный угол. Вписанный угол . Задача. Свойство вписанного угла . Задача. Теорема о полусумме дуг. Задача. Теорема о полуразности дуг. Задача. Произведение отрезков пересекающихся хорд. Пропорциональность отрезков хорд и секущей. Свойство отрезков касательной. Задача. Геометрическое место точек . Теорема о геометрическом месте точек . Серединный перпендикуляр . Описанная окружность. Треугольник, вписанный в окружность. Задача. Задача. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в треугольник . Задача. Окружность, описанная около четырехугольника. Задача. Окружность, вписанная в четырехугольник. Задача.

Окружностью называется фигура , которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки – центра окружности. Расстояние от центра О окружности до лежащей на ней точки А равно 5 см. Докажите, что расстояние от точки О до точки В этой окружности равно 5 см , а расстояние от О до точек С и D , не лежащих на ней, не равно 5 см. Окружность. О C D А В назад

РАДИУС. Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Точки X,Y,Z лежат на окружности с центром М. Является ли радиусом этой окружности Отрезок MX; Отрезок YZ ? Y X Z назад

ХОРДА. Что такое хорда окружности? Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности . назад О А В

ДИАМЕТР. Что такое диаметр окружности? Диаметром называется хорда, проходящая через центр. назад О А В

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера центрального угла соответствует градусной мере дуги, на которую он опирается (если дуга меньше полуокружности). Назовите по рисунку все центральные углы. О С А В m назад

Если центральные углы данной окружности равны, то соответствующие им дуги попарно равны. Сформулируйте обратное утверждение. А О С В D назад

ВПИСАННЫЙ УГОЛ. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Какие из углов являются вписанными в окружность ? назад А В С

Угол ABC- вписанный в окружность. АС – диаметр. Докажите, что угол ABC — прямой . Задача. назад О А С В

СВОЙСТВО ВПИСАННОГО УГЛА. Докажите, что равны все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки. назад

ЗАДАЧА. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О,  АВС = 50  ,  АВ :  СВ = 5 : 8. Найдите эти дуги и  АОС. назад

ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол (  АВС), вершина которого лежит внутри окружности, измеряется полусуммой двух дуг (АС и D Е), одна из которых заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон.  АВС = 0,5 (  D Е +  АС). D Е А С назад

ЗАДАЧА. Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ : КА = 3 : 4. назад

ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол (  АВС), вершина которого лежит вне окружности и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг (АС и D Е), заключенных между его сторонами.  АВС = 0,5 (  D Е +  АС). В D Е А С назад

ЗАДАЧА. Расстояние от точки А до центра окружности радиуса 5 см равно 10 см. Через точку А проведена секущая, которая пересекает окружность в точках В и С. Найти АС, если точка В делит отрезок АС пополам. назад

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД. Произведение длин отрезков пересекающихся хорд равны. Сформулируй эту теорему со словами «если», «то». Проверь себя: «Если хорды АВ и С D пересекаются в точке М, то АМ  ВМ = СМ  D М С В м А D назад

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩЕЙ. Произведение длин отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной. Если через точку М проведена секущая к окружности и касательная, причем точки А и В – точки пересечения окружности с секущей, а С – точка касания, то АМ  ВМ = СМ . М С В А назад

СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ КАСАТЕЛЬНОЙ. Отрезки двух касательных, проведенных к окружности из точки вне ее, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром. Докажите теорему самостоятельно. А О С В назад

ЗАДАЧА. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В – точки касания). Найти периметр треугольника АВМ, если угол АОВ равен 120  . назад

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК. Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Объясните, почему окружность является геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки. назад О А В

ТЕОРЕМА О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕСТЕ ТОЧЕК. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину. Дано: а ; АВ  а ; АО = ОВ. Доказать: а — геометрическое место точек, равноудалённых от А и В. Будет ли теорема доказана, если установить, что любая точка прямой а равноудалена от А и В. назад А В О М а

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР. Серединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему. Докажите , что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде этой окружности. назад

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность. Докажите, что стороны вписанного треугольника являются хордами описанной около него окружности. Где лежит центр окружности, описанной около треугольника? назад

Где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? Задача. назад О А С В

ЗАДАЧА. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 12, и 10 см. назад

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности Общая точка окружности и касательной называется точкой касания. Что можно сказать о сторонах треугольника С D Е по отношению к окружности? назад

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности. Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник? Треугольник ABC- описанный около окружности. Какие из треугольников AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA- равные ? назад

ЗАДАЧА. В прямоугольном треугольнике один из углов 30  . Найдите меньшую сторону треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см. назад

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. Если около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равны двум прямым углам . Докажите:  А +  С = 180  . Сформулируйте обратное утверждение. Около каких четырехугольников можно описать окружность? Почему? В С D A назад

ЗАДАЧА. Диагональ трапеции составляет с большим основанием угол 30  , а центр окружности, описанной возле трапеции, принадлежит этому основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 2 см. назад

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма длин его противоположных сторон равны. Докажите: АВ+С D = ВС+А D . Сформулируйте обратное утверждение. В какие четырехугольники можно вписать окружность? В С D А N P K M назад

ЗАДАЧА. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, если ее основания равны 2 см и 8 см. назад

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к итоговому уроку в 1 классе»Игрушки».

Данная презентация позволяет повторить ранее изученную лексику урока и привлечь внимание учащихся к повторению пройденного материала.

Презентация к итоговому уроку в 6 классе по теме «Гидросфера»

Презентацию можно использовать на обобщающем уроке географии в 6 классе. Этот урок проводится в игровой форме. Игра называется «Своя игра». Класс можно разделить на группы по 3-4 человека. Каждая груп.

Итоговый урок для 6 класса по теме «British and Russian traditional holidays»

Урок-подведение итогов по изученной теме.

«Кухонная карусель» итоговый урок кулинария 5 класс

Итоговый урок в 5 классе по темам бутерброды, блюда из яиц, кухня и ее оборудование, горячие напитки, сервировка стола и этикет. Учитель по своему усмотрению формирует команды, легко корректирует про.

План итогового урока в 6 классе:»Автономное существование человека в природе»

План итогового урока в 6 классе: «Автономное существование человека в природе», игра: «По следам Робинзона Крузо».

Итоговый урок в 11 классе по теме «Глобальные проблемы»

Итоговый урок в 11 классе по теме «Глобальные проблемы».

Итоговый урок во втором классе по теме «Устройства компьютера»

Этот урок замечателен тем, что кроме серьёзных заданий на повторение данного раздела, есть комплекс развивающих упражнений, способствующий отдыху и расслаблению учащихся после напряженного занятия.

Конспект урока в 8 классе: «Центральные и вписанные углы»

Урок в 8 классе по геометрии по теме «Центральные и вписанные углы. Решение задач».Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме 2 центральные и вписанные углы».Урок направлен на проверку знаний теоретического материала по данной теме и отработку навыков решения задач.

Беланенко вписанный угол11.docx
Картинками

Центральные и вписанные углы. Решение задач (8 класс) Класс: общеобразовательный. Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Центральные и вписанные углы». Урок направлен на проверку знаний теоретического материала по данной теме и на отработку навыков решения задач. Формы работы на уроке: индивидуальная, фронтальная, Методы обучения, применяемые на уроке: сочетание словесных, наглядных и практических, репродуктивных и проблемно­поисковых; методов работы под руководством учителя и самостоятельной работы учащихся. самостоятельная. Знания и умения учащихся: ученики знают понятие градусной меры дуги окружности и полуокружности, определение центрального и вписанного углов; теорему и следствия о вписанном угле; теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд. Цели и задачи: Обучающие: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Центральные и вписанные углы»; формировать навыки применять теоретический материал при решении практических задач; Развивающие: реализация принципов связи теории и практики, развивать способности развитие творческой самостоятельности мышления познавательного интереса, учащихся, развитие математической речи; наблюдения, анализировать, проводить Воспитательные: воспитание аккуратности, дисциплины, трудолюбия, ответственного отношения к учёбе. Оборудование: заданиями. компьютер, мультимедийный проектор, карточки с 1 I. Организационный этап Ход урока Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и задач урока. II. Проверка домашнего задания Задача № 662. Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем. III. Обобщение и систематизация знаний; Сегодня на уроке мы повторим теоретический материал и будем решать задачи разного уровня сложности по теме «Центральные и вписанные углы в окружность», а затем контроль с помощью тестов. 2 1. Устная фронтальная работа  Теоретические вопросы 1. Какой угол называется центральным углом окружности ? 2. Что такое дуга окружности и полуокружность? 3. Чему равна сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами? 4. Сформулируйте теорему о вписанном угле. Чему равен вписанный в окружность угол, если он острый? Тупой? 5. Если вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, что можно сказать про их градусные меры? 6. Чему равна градусная мера вписанного угла, опирающегося на полуокружность? 7. Какой угол называется вписанным ?  Устные упражнения Учащиеся на слайдах видят рисунок. Используя данные рисунка, учащиеся находят неизвестное. И только после выполнения задания учитель проектирует на экран правильные ответы, учащиеся комментируют решение. Найти градусную меру угла x. Решение: ∠ABC−вписанный,⇒∠ABC=1 2 ∪AC.∠AOC−центральный,⇒∠AOC=∪AC,⇒∪AC=1200,значит∠ABC=600. O – центр окружности. Найти градусную меру угла x. Решение: ∠ABC−вписанныйиопираетсянадугу∪AC=1800(AC−диаметр)⇒∠ABC=900 3 Найти градусную меру угла x. ∠ABC,∠ADC−вписанныеиопираютсянаоднуитужедугу,⇒∠ABC=∠ADC=300. 2. Коллективное решение задач Работа учащихся в классных тетрадях с использованием задач по типу незаконченного предложения. На доску проектируется рисунок с формулировкой вопроса и решением. В решении нужно заполнить пробелы. На каждую задачу отводится 1­3 минуты. После решения каждой задачи один из учащихся зачитывает текс. 1. Какие углы являются центральными углами окружности с центром в точке A? Решение: Центральным окружности называется угол с вершиной в . На рисунке центр окружности – точка служит вершиной углов MAE, , , , , . Эти углы являются центральными углами данной окружности. Ответ: . 2. Какие из углов являются HAM, HBM, TCE и HPM вписанными? Решение: Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на , а стороны окружность. Точка А лежит на окружности, а стороны угла HAM окружность. Следовательно, угол вписанным. Точка В лежит на , а стороны угла HBM пересекают , следовательно, угол HBM . Точка С , а сторона СЕ угла ТСЕ не пересекает , следовательно, 4 угол ТСЕ вписанным. Точка Р на окружности, следовательно, угол НРМ вписанным. Ответ: . 3. Точки А, В, С лежат на одной окружности, ∠АВС=800 . Лежит ли центр окружности на отрезке АС? Решение: Если центр окружности лежит на отрезке АС, то отрезок АС является этой окружности, а дуга АС является . Тогда вписанный угол АВС опирается на полуокружность, а потому он равен , но по условию задачи ∠АВС=800 окружности на отрезке АС. Ответ: . . Следовательно, центр 3. Самостоятельная работа (тест­контроль)  Работа по карточкам Учащиеся получают карточки с заданиями. Можно варьировать количество карточек и сложность заданий для отдельных учащихся. Точка О – центр окружности. Найдите значение x. ; Б) 400 ; В) А) 600 800. А) 600 800. ; Б) 1400 ; В) ; Б) 400 ; В) А) 600 1250. 5 ; Б) 1400 ; А) 1600 В) 800. А) 1200 В) 800. ; Б) 1400 ; А) 550 650. ; Б) 450 ; В) ; Б) 400 ; В) ; Б) 400 ; В) А) 600 800. А) 600 500. IV. Подведение итогов урока (рефлексия) В конце урока учащиеся самостоятельно оценивают степень вовлеченности, свой уровень подготовки, теоретическую базу, пробелы в знаниях. Предлагается закончить следующие предложения: Я узнал ….. Я научился (урок прошел плодотворно, с пользой)…… Мне понравилось…… Я затруднялся (нужна помощь)…… Мое настроение….. 6 V. Домашнее задание № 660.668 Задача № 660. Литература: 1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2016. 2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Рабочая тетрадь. 8 класс. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2016. 3. Журнал «Математика. Все для учителя». – №3 [27] – 2016.. 4. Рабинович Е. М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7 – 9 классы. Геометрия. – М.: ИЛЕКСА, 2007. 7

Конспект урока в 8 классе: «Центральные и вписанные углы»

Конспект урока в 8 классе: «Центральные и вписанные углы»

Конспект урока в 8 классе: «Центральные и вписанные углы»

Конспект урока в 8 классе: «Центральные и вписанные углы»

Конспект урока в 8 классе: «Центральные и вписанные углы»

Конспект урока в 8 классе: «Центральные и вписанные углы»

Конспект урока в 8 классе: «Центральные и вписанные углы»

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Презентация, доклад на тему Центральные и вписанные углы

Слайд 1
Центральные и вписанные углы
Выполнила учитель математики Федорова И.Б.

Слайд 2Что такое угол?
Какие из углов, изображенных на рисунке вам знакомы? Как

они называются?
Какие углы вам не знакомы?
На какие группы можно распределить углы на рисунке 1,3,5,9?

Слайд 3M
N
E
Отличительные признаки:

Вершина угла лежит на окружности.
Стороны угла пересекают окружность.
… углом называется

угол, вершина которого…

лежит на окружности

Слайд 4Центральный угол
Отличительные признаки:
Вершина расположена в центре окружности.
Стороны угла пересекают окружность.
… углом

называется угол,
вершина которого расположена …

а стороны угла … эту окружность.

Слайд 5На каком рисунке изображены
центральные и вписанные углы?

Слайд 61.Найдите на рисунке центральные углы
Ответ:
∠КАС
2.Найдите на рисунке вписанные углы
Ответ:
∠DMC
∠САЕ
∠ ЕАМ
∠КАМ

Слайд 7P
Какие из углов ∠HAM, ∠HBM, ∠TCE, ∠HPM являются вписанными?

Похожие презентации

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Углы в окружности, центральный и вписанный. Свойства и способы нахождения

Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий свойства плоских фигур. К ним относятся не только всем известные треугольники, квадраты, прямоугольники, но и прямые и углы. В планиметрии также существуют такие понятия, как углы в окружности: центральный и вписанный. Но что они означают?

Что такое центральный угол?

Для того чтобы понять, что такое центральный угол, нужно дать определение окружности. Окружность – это совокупность всех точек, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Очень важно отличать ее от круга. Нужно запомнить, что окружность – это замкнутая линия, а круг – это часть плоскости, ограниченная ею. В окружность может быть вписан многоугольник или угол.

Центральный угол – это такой угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Дуга, которую угол ограничивает точками пересечения, называется дугой, на которую опирается данный угол.

Рассмотрим пример №1.

На картинке угол AOB – центральный, потому что вершина угла и центр окружности – это одна точка О. Он опирается на дугу AB, не содержащую точку С.

Чем вписанный угол отличается от центрального?

Однако кроме центральных существуют также вписанные углы. В чем же их различие? Так же как и центральный, вписанный в окружность угол опирается на определенную дугу. Но его вершина не совпадает с центром окружности, а лежит на ней.

Приведем следующий пример.

Угол ACB называется углом, вписанным в окружность с центром в точке О. Точка С принадлежит окружности, то есть лежит на ней. Угол опирается на дугу АВ.

Чему равен центральный угол

Для того чтобы успешно справляться с задачами по геометрии, недостаточно уметь различать вписанный и центральный углы. Как правило, для их решения нужно точно знать, как найти центральный угол в окружности, и уметь вычислить его значение в градусах.

Итак, центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На картинке угол АОВ опирается на дугу АВ, равную 66°. Значит, угол АОВ также равен 66°.

Таким образом, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

На рисунке дуга DC равна дуге AB. Значит, угол АОВ равен углу DOC.

Как найти вписанный угол

Может показаться, что угол, вписанный в окружность, равен центральному углу, который опирается на ту же дугу. Однако это грубая ошибка. На самом деле, даже просто посмотрев на чертеж и сравнив эти углы между собой, можно увидеть, что их градусные меры будут иметь разные значения. Так чему же равен вписанный в окружность угол?

Градусная мера вписанного угла равна одной второй от дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, если они опираются на одну дугу.

Рассмотрим пример. Угол АСВ опирается на дугу, равную 66°.

Значит, угол АСВ = 66° : 2 = 33°

Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

• Вписанные углы, если они опираются на одну и ту же дугу, хорду или равные дуги, равны.
• Если вписанные углы опираются на одну хорду, но их вершины лежат по разные стороны от нее, сумма градусных мер таких углов составляет 180°, так как в этом случае оба угла опираются на дуги, градусная мера которых в сумме составляет 360° (вся окружность), 360° : 2 = 180°
• Если вписанный угол опирается на диаметр данной окружности, его градусная мера равна 90°, так как диаметр стягивает дугу равную 180°, 180° : 2 = 90°
• Если центральный и вписанный углы в окружности опираются на одну дугу или хорду, то вписанный угол равен половине центрального.

Где могут встретиться задачи на эту тему? Их виды и способы решения

Так как окружность и ее свойства – это один из важнейших разделов геометрии, планиметрии в частности, то вписанный и центральный углы в окружности – это тема, которая широко и подробно изучается в школьном курсе. Задачи, посвященные их свойствам, встречаются в основном государственном экзамене (ОГЭ) и едином государственном экзамене (ЕГЭ). Как правило, для решения этих задач следует найти углы на окружности в градусах.

Углы, опирающиеся на одну дугу

Этот тип задач является, пожалуй, одним из самых легких, так как для его решения нужно знать всего два простых свойства: если оба угла являются вписанными и опираются на одну хорду, они равны, если один из них – центральный, то соответствующий вписанный угол равен его половине. Однако при их решении нужно быть крайне внимательным: иногда бывает сложно заметить это свойство, и ученики при решении таких простейших задач заходят в тупик. Рассмотрим пример.

Дана окружность с центром в точке О. Угол АОВ равен 54°. Найти градусную меру угла АСВ.

Эта задача решается в одно действие. Единственное, что нужно для того, чтобы найти ответ на нее быстро – заметить, что дуга, на которую опираются оба угла — общая. Увидев это, можно применять уже знакомое свойство. Угол АСВ равен половине угла АОВ. Значит,

1) АОВ = 54° : 2 = 27°.

Углы, опирающиеся на разные дуги одной окружности

Иногда в условиях задачи напрямую не прописана величина дуги, на которую опирается искомый угол. Для того чтобы ее вычислить, нужно проанализировать величину данных углов и сопоставить их с известными свойствами окружности.

В окружности с центром в точке О угол АОС равен 120°, а угол АОВ – 30°. Найдите угол ВАС.

Для начала стоит сказать, что возможно решение этой задачи с помощью свойств равнобедренных треугольников, однако для этого потребуется выполнить большее количество математических действий. Поэтому здесь будет приведен разбор решения с помощью свойств центральных и вписанных углов в окружности.

Итак, угол АОС опирается на дугу АС и является центральным, значит, дуга АС равна углу АОС.

Точно так же угол АОВ опирается на дугу АВ.

Зная это и градусную меру всей окружности (360°), можно с легкостью найти величину дуги ВС.

ВС = 360° — АС — АВ

ВС = 360° — 120° — 30° = 210°

Вершина угла САВ, точка А, лежит на окружности. Значит, угол САВ является вписанным и равен половине дуги СВ.

Угол САВ = 210° : 2 = 110°

Задачи, основанные на соотношении дуг

Некоторые задачи вообще не содержат данных о величинах углов, поэтому их нужно искать, исходя только из известных теорем и свойств окружности.

Найдите угол, вписанный в окружность, который опирается на хорду, равную радиусу данной окружности.

Если мысленно провести линии, соединяющие концы отрезка с центром окружности, то получится треугольник. Рассмотрев его, можно заметить, что эти линии являются радиусами окружности, а значит, все стороны треугольника равны. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60°. Значит, дуга АВ, содержащая вершину треугольника, равна 60°. Отсюда найдем дугу АВ, на которую опирается искомый угол.

АВ = 360° — 60° = 300°

Угол АВС = 300° : 2 = 150°

В окружности с центром в точке О дуги соотносятся как 3:7. Найдите меньший вписанный угол.

Для решения обозначим одну часть за Х, тогда одна дуга равна 3Х, а вторая соответственно 7Х. Зная, что градусная мера окружности равна 360°, составим уравнение.

По условию, нужно найти меньший угол. Очевидно, что если величина угла прямо пропорциональна дуге, на которую он опирается, то искомый (меньший) угол соответствует дуге, равной 3Х.

Значит, меньший угол равен (36° * 3) : 2 = 108° : 2 = 54°

В окружности с центром в точке О угол АОВ равен 60°, а длина меньшей дуги — 50. Вычислите длину большей дуги.

Для того чтобы вычислить длину большей дуги, нужно составить пропорцию — как меньшая дуга относится к большей. Для этого вычислим величину обеих дуг в градусах. Меньшая дуга равна углу, который на нее опирается. Ее градусная мера составит 60°. Большая дуга равна разности градусной меры окружности (она равна 360° вне зависимости от остальных данных) и меньшей дуги.

Большая дуга равна 360° — 60° = 300°.

Так как 300° : 60° = 5, то большая дуга в 5 раз больше меньшей.

Большая дуга = 50 * 5 = 250

Итак, конечно, существуют и другие подходы к решению подобных задач, но все они так или иначе основаны на свойствах центральных и вписанных углов, треугольников и окружности. Для того чтобы успешно их решать, необходимо внимательно изучать чертеж и сопоставлять его с данными задачи, а также уметь применять свои теоретические знания на практике.