Как найти минимальный нетривиальный делитель

Найти наименьший нетривиальный делитель натурального числа

Формулировка. Дано натуральное число. Найти его наименьший нетривиальный делитель или вывести само это число, если такового нет.

Решение. Задача решается аналогично предыдущей. При этом необходимо начать обычный цикл с увеличением, при котором переменная цикла i изменяется от 2 до n (такая верхняя граница нужна для того, чтобы цикл всегда заканчивался, так как когда i будет равно n, выполнится условие n mod i = 0). Весь остальной код при этом не отличается.

Код:

1. program SmallestDiv;
2. var
3. i, n: word;
4. begin
5. readln(n);
6. for i := 2 to n do begin
7. if n mod i = 0 then begin
8. writeln(i);
9. break
10. end
11. end
12. end.

Делители числа

Делитель — это число, на которое нацело делится делимое. У делимого может быть один или несколько делителей, найти их все можно с помощью простого алгоритма, который без проблем реализуется на Python 3.

Нахождение делителей числа

С практической точки зрения будет полезно, если программа на Python не только будет находить делители числа, искать их сумму, определять минимальный и максимальный, а также простые делители.

Каждая подзадача так или иначе связана с предыдущей, поэтому код последующей программы — это немного модернизированный код предыдущей. Кроме того, весь функционал при необходимости можно объединить в одной программе.

Алгоритм нахождения очень простой. В цикле перебираются значения от делимого минус единица до двух включительно. Если делимое нацело делится на текущее значение, то оно является делителем.

Пользователь вводит целое число, делителей которого будет искать программа, тогда код выглядит так:

numb = int(input("Введите целое число: ")) print("Результат:", end = " ") for i in range(numb - 1, 1, -1): if (numb % i == 0): print(i, end = " ")

Например, пользователь ввёл число 625. Программа начинает цикл со значения 624, в цикле проверяется, делится ли нацело 625 на 624, затем цикл переходит на следующую итерацию и работает уже с числом 623 и так до двух. Таким образом, вывод программы будет следующим:

Введите целое число: 625 Результат: 125 25 5

Простые делители числа

Простой делитель — это делитель, который делится только на единицу и самого себя. Для нахождения простых делителей с помощью Python нужно немного модернизировать программу, добавив в неё дополнительный цикл for и переменную счётчик.

Программа построена по следующему алгоритму:

1. Обнулить счётчик.
2. В цикле искать делители.
3. Если найден, искать во вложенном цикле его делители. Это для того, чтобы определить: является ли он простым.
4. Если найден, увеличить счётчик.
5. Если счётчик равен нулю, то число простое и надо вывести значение делителя в консоль.
6. Перейти на следующую итерацию внешнего цикла.

Цикл теперь выглядит так:

numb = int(input("Введите целое число: ")) print("Простые:", end = " ") for i in range(numb - 1, 1, -1): is_simple = 0 # Счётчик if (numb % i == 0): for j in range(i - 1, 1, -1): if (i % j == 0): is_simple = is_simple + 1 # Увеличиваем, если находим делитель if (is_simple == 0): # Если делителей не было найдено, выводим print(i, end = " ")

Понятно, что если значение счётчика больше нуля — то число точно не простое. Можно оптимизировать немного код и сразу завершать вложенный цикл после увеличения счётчика. Для этого можно воспользоваться оператором break в условном операторе, находящемся во вложенном цикле.

Результат работы программы:

Введите целое число: 63 Простые: 7 3

Делители расположены в порядке убывания. И если надо вывести только самый большой простой делитель с помощью Python, то можно после того, как выведется первое число, воспользоваться оператором break для выхода из цикла.

Сумма делителей

Для того чтобы найти сумму всех делителей числа с помощью Python, достаточно добавить в начальную программу переменную, к которой в цикле будет прибавляться каждый найденный делитель.

Код программы:

numb = int(input("Введите целое число: ")) sum_of_dividers = 0 for i in range(numb - 1, 1, -1): if (numb % i == 0): sum_of_dividers += i print("Сумма:", sum_of_dividers)

Результат выполнения кода:

Введите целое число: 63 Сумма: 40

Количество делителей

Этот вариант программы также лишь незначительно отличается от изначального. Для подсчёта делителей нужно ввести переменную-счётчик, к которой будет прибавляться единица каждый раз, когда условие « numb % i == 0 » будет выполняться.

numb = int(input("Введите целое число: ")) count_of_dividers = 0 for i in range(numb - 1, 1, -1): if (numb % i == 0): count_of_dividers += 1 print("Количество равно:", count_of_dividers)

Результаты выполнения программы:

Введите целое число: 63 Количество равно: 4

Максимальный и минимальный делитель

Для нахождения минимального и максимального делителя в код на Python нужно добавить две переменные: min_divider и max_divider . В цикле делитель будет сравниваться со значением этих переменных и, если необходимо, записываться в них.

Код программы:

numb = int(input("Введите целое число: ")) min_divider = numb max_divider = 1 for i in range(numb - 1, 1, -1): if (numb % i == 0): if (min_divider > i): min_divider = i if (max_divider < i): max_divider = i print("Минимальный равен:", min_divider) print("Максимальный равен:", max_divider)

Результат выполнения:

Введите целое число: 63 Минимальный равен: 3 Максимальный равен: 21

Нахождение наименьшего и наибольшего делителя, подсчёт суммы делителей и их количества можно объединить в одну программу на Python. Это не должно вызвать каких-либо проблем или конфликтов, потому что программа работает с 4 независимыми переменными.

Нахождение всех делителей числа

Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.

Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:

1. Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
2. Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
3. Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
4. В конце добавляем в качестве делителя единицу.

Например, найдём все делители числа 40. Раскладываем число 40 на простые множители:

40 20 10 5 1

2 2 2 5

Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель — это 2 и 5.

Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:

2 · 2 = 4,

2 · 2 · 2 = 8,

2 · 5 = 10,

2 · 2 · 5 = 20,

2 · 2 · 2 · 5 = 40.

Добавляем в качестве делителя 1. В итоге получаем все делители, на которые число 40 делится без остатка:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Других делителей у числа 40 нет.

Калькулятор нахождения всех делителей

Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку "Вычислить".

Как в C++ найти наибольший делитель числа?

А я ведь не зря говорил о поиске наименьшего делителя. Гляньте, сколько работает ваш код для 2142972483, и сколько - мой. И еще - все же не стоит поощрять лень и решать такие задания за человека, которому важнее не знать, а сдать.

18 окт 2018 в 15:41
@Harry главное, что работает, это еще не та работа где нужна максимальная скорость
18 окт 2018 в 16:02

Да как сказать. Факторизация как раз задача из тех, которые могут ну очень долго выполняться. Это - никак не преждевременная оптимизация, это смена алгоритма. У вас в худшем варианте нужно перепробовать n/2-sqrt(n) вариантов, у меня - sqrt(n)/2 - можно пропускать четные. Итого разница в sqrt(n)-2 раза - даже для миллиона - в 1000 раз. Даже если вы тоже будете пропускать четные - в 500 раз. Согласитесь, разница в несколько порядков - это таки существенно 🙂

18 окт 2018 в 17:02

@Harry я понял что можно было сделать по другому, но все равно решение то рабочее(хоть можно было и лучше сделать), и почему бы галочку ему не поставить, я все таки старался